Периодические функции

[lofar]

Профессор Снэйп писал(а):

Как насчёт второго вопроса? Если что, то ответ на него мне неизвестен (в отличие от первого).

Так здесь, вроде бы, совсем просто -- в качестве $H$ можно взять любую биекцию из $\mathbb R^2$ на $\mathbb R$.

ASA писал(а):

Ядро $f(x)$ - это ядро в обычном понимании $\{x\in\mathbb R: f(x)=0\}?$ $\mathbb R_{\mathbb Q}$ - это что фактор-группа какая-то? И хорошо бы примеры $A, B, C.$

Да, ядро, это именно это. $\mathbb R_{\mathbb Q}$ означает, что в данный момент $\mathbb R$ рассматривается как векторное пространство над $\mathbb Q$ (оно континуально-мерное). Ясно, что всякое векторное пространство размерности больше $3$ можно представить в виде прямой суммы 3-х ненулевых подпространств (возьмите базис и ...).

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

Так здесь, вроде бы, совсем просто -- в качестве $H$ можно взять любую биекцию из $\mathbb R^2$ на $\mathbb R$.

Н-да... Пора на свалку

[ASA]

lofar писал(а):

Ограничимся аддитивными функциями, т. е. такими, что $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Для аддитивной функции группа ее периодов совпадает с ее ядром.
$\mathbb R_{\mathbb Q}$ можно представить в виде прямой суммы 3-х ненулевых подпространств: $\mathbb R_{\mathbb Q}=A\oplus B\oplus C$. Для $a\in A$, $b\in B$, $c\in C$ положим $f(a+b+c)=b+c$ и $g(a+b+c)=a-c$, тогда $h(a+b+c)=a+b$. Группы периодов $f$, $g$ и $h$ это $A$, $B$ и $C$, соответственно. Все 3 функции периодические, но ни у каких 2-х из них нет общих периодов.

lofar писал(а):

$\mathbb R_{\mathbb Q}$ означает, что в данный момент $\mathbb R$ рассматривается как векторное пространство над $\mathbb Q$ (оно континуально-мерное). Ясно, что всякое векторное пространство размерности больше $3$ можно представить в виде прямой суммы 3-х ненулевых подпространств (возьмите базис и ...).

Ага. Пытаюсь осмыслить?
1) Для каждого $x\in \mathbb R$ однозначно определяются числа $p\in \mathbb Q$, $q\in \mathbb Q$, $y\in \mathbb R$ такие, что $x=p\sqrt 2+q\sqrt 3+y$, где $y$ непредставим в виде суммы $p_1\sqrt 2+q_1\sqrt 3$ с рациональными $p_1$, $q_1$.
2) Для $\forall x\in\mathbb R$ положим $f(x)=q\sqrt 3+y$, $g(x)=p\sqrt 2-y$. Тогда $h(x)=f(x)+g(x)=p\sqrt 2+q\sqrt 3$.
3) Получается, что все периоды $f(x)$ имеют вид $p_1\sqrt 2$, где $p_1$ - положительное рациональное число; все периоды $g(x)$ имеют вид $q_1\sqrt 3$, где $q_1$ - положительное рациональное число и все периоды $h(x)$ - это положительные действительные числа, непредставимые в виде суммы $p_1\sqrt 2+q_1\sqrt 3$ с рациональными $p_1$, $q_1$.
Все правильно?

lofar писал(а):

Так здесь, вроде бы, совсем просто -- в качестве $H$ можно взять любую биекцию из $\mathbb R^2$ на $\mathbb R$.

Ну да, если $H$ - биекция, то $(f(x),g(x))=H^{-1}(h(x))$, и тогда у $f(x)$ и $g(x)$ есть период, который совпадает с периодом $h(x)$.

Спасибо, lofar.

[Профессор Снэйп]

ASA писал(а):

1) Для каждого $x\in \mathbb R$ однозначно определяются числа $p\in \mathbb Q$, $q\in \mathbb Q$, $y\in \mathbb R$ такие, что $x=p\sqrt 2+q\sqrt 3+y$, где $y$ непредставим в виде суммы $p_1\sqrt 2+q_1\sqrt 3$ с рациональными $p_1$, $q_1$.

Это неверно.

[ASA]

Профессор Снэйп писал(а):

Непонятно, почему Вас смущают какие-то пределы.

Это привычка под подпространством понимать подпространство (например) в нормированном пространстве, т.е замкнутое относительно линейных операций и замкнутое относительно сходимости по норме. В смысле лин. операций $A$, конечно, замкнуто. Здесь все ясно.

Профессор Снэйп писал(а):

$$A = \{ (x,0,0) : x \in \mathbb{R} \} $$

$$ B = \{ (0,y,0) : y \in \mathbb{R} \} $$

$$ C = \{ (0,0,z) : z \in \mathbb{R} \} $$

Тогда $\mathbb{R}^3 = A \oplus B \oplus C$. Но разве

$$ C = \mathbb{R}^3 \setminus (A \oplus B) = \{ (x,y,z ) : x,y,z \in \mathbb{R}, z \neq 0 \}? $$

И под дополнением я понимал дополнение не в теоретико-множественном смысле, а как, скажем, ортогональное дополнение в гильбертовом пространстве или что-то в этом духе. Но в нашем случае никакой ортогональности нет.
Итак, берем $A=\{p\sqrt 2:\, p\in \mathbb Q\}$, $B=\{p\sqrt 2:\, p\in \mathbb Q\}$, а $C$ такое, что $\mathbb R_\mathbb Q=A\oplus B\oplus C.$ Хотя, хотелось бы $C$ пощупать .

[Профессор Снэйп]

ASA писал(а):

...вижу, что $A=\{p\sqrt 2:\, p\in \mathbb Q\}$ не замкнуто в $\mathbb R_{\mathbb Q}$, т.е. не явл. подпространством.

Почему не является? Является (подпространством, насчёт замкнутости я не понял, что Вы имеете в виду)!

С $A$ и $B$ у Вас всё нормально. Проблема кроется в $C$. Если в прямой сумме три слагаемых, то третье --- это отнюдь не дополнение к сумме первых двух, как Вы ошибочно полагаете.

Добавлено спустя 9 минут 7 секунд:

"Конструктивно" Вы разложение $\mathbb{R}_\mathbb{Q} = A \oplus B \oplus C$ никак не зададите. Можно лишь доказать существование такого разложения, причём с использованием аксиомы выбора. Если же Вы хотите какого-то "конструктивного" задания функций $f$, $g$ и $h$, то надо чуть изменить конструкцию lofar. Например, выбрать в $\mathbb{R}_\mathbb{Q}$ три линейно независимых элемента (подойдут $1$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$), после чего задать $f$ и $g$ на их линейной оболочке, а вне неё положить эти функции равными нулю.

Вот, посмотрите сюда. Я когда-то так и сделал (это моё оригинальное решение первой задачи). Конструкция lofar проще и изящнее, хотя и менее "конструктивна". (Можно, конечно, ещё отметить тот факт, что у меня все функции принимают только целые значения, но в задаче этого не требуется).

[ASA]

1) По поводу замкнутости $A$. Меня вот что смутило? Если, скажем, $p_n\in\mathbb Q$ и $p_n\rightarrow \sqrt 2$, то $p_n\sqrt 2 \rightarrow 2\notin A$.
2) В качестве $C$ я беру, как мне кажется, дополнение к подпространству $A\oplus B$. И непонятно, почему нет единственности разложения

Цитата:

$x=p\sqrt 2+q\sqrt 3+y$

[Профессор Снэйп]

ASA писал(а):

1) По поводу замкнутости $A$. Меня вот что смутило? Если, скажем, $p_n\in\mathbb Q$ и $p_n\rightarrow \sqrt 2$, то $p_n\sqrt 2 \rightarrow 2\notin A$.

Непонятно, почему Вас смущают какие-то пределы. Они к интересующим нас разложениям никакого отношения не имеют. Почему Вас смущает, что дядька находится в Киеве, когда Вы изучаете бузину в огороде?

ASA писал(а):

2) В качестве $C$ я беру, как мне кажется, дополнение к $A\oplus B$. И непонятно, почему нет единственности разложения

ASA писал(а):

$x=p\sqrt 2+q\sqrt 3+y$

Если $x=p\sqrt 2+q\sqrt 3+y$ --- разложение, то $x=(p-1)\sqrt 2+q\sqrt 3+(y+\sqrt{2})$ --- тоже разложение, удовлетворяющее всем Вашим требованиям.

Ну это же векторные пространства. Сами подумайте! Пусть

$$ A = \{ (x,0,0) : x \in \mathbb{R} \} $$

$$ B = \{ (0,y,0) : y \in \mathbb{R} \} $$

$$ C = \{ (0,0,z) : z \in \mathbb{R} \} $$

Тогда $\mathbb{R}^3 = A \oplus B \oplus C$. Но разве

$$ C = \mathbb{R}^3 \setminus (A \oplus B) = \{ (x,y,z ) : x,y,z \in \mathbb{R}, z \neq 0 \}? $$

[ASA]

Профессор Снэйп писал(а):

Непонятно, почему Вас смущают какие-то пределы.

Это привычка под подпространством понимать подпространство (например) в нормированном пространстве, т.е замкнутое относительно линейных операций и замкнутое относительно сходимости по норме. В смысле лин. операций $A$, конечно, замкнуто. Здесь все ясно.

Профессор Снэйп писал(а):

$$A = \{ (x,0,0) : x \in \mathbb{R} \} $$

$$ B = \{ (0,y,0) : y \in \mathbb{R} \} $$

$$ C = \{ (0,0,z) : z \in \mathbb{R} \} $$

Тогда $\mathbb{R}^3 = A \oplus B \oplus C$. Но разве

$$ C = \mathbb{R}^3 \setminus (A \oplus B) = \{ (x,y,z ) : x,y,z \in \mathbb{R}, z \neq 0 \}? $$

И под дополнением я понимал дополнение не в теоретико-множественном смысле, а как, скажем, ортогональное дополнение в гильбертовом пространстве или что-то в этом духе. Но в нашем случае никакой ортогональности нет.
Итак, берем $A=\{p\sqrt 2:\, p\in \mathbb Q\}$, $B=\{q\sqrt 3:\, q\in \mathbb Q\}$, а $C$ такое, что $\mathbb R_\mathbb Q=A\oplus B\oplus C.$ Хотя, хотелось бы $C$ пощупать .

[Профессор Снэйп]

ASA писал(а):

И под дополнением я понимал дополнение не в теоретико-множественном смысле, а как, скажем, ортогональное дополнение в гильбертовом пространстве или что-то в этом духе. Но в нашем случае никакой ортогональности нет.

Совершенно верно, никакой ортогональности нет (ибо никакого скалярного произведения не определено). А дополнение Вы изначально взяли именно в теоретико-множественном смысле. На ошибочность чего я Вам и указал

ASA писал(а):

Хотя, хотелось бы $C$ пощупать .

Что значит "пощупать"? Определите точно, что Вы вкладываете в этот термин, только после этого возможен осмысленный разговор на эту тему!

Пока лишь могу сказать, что существование $C$ можно доказать, используя лемму Цорна. Более того, существует целый гиперконтинуум возможностей для выбора этого самого $C$. Однако в более-менее "явном виде" его задать вряд ли удастся.

Добавлено спустя 3 минуты 40 секунд:

ASA писал(а):

Это привычка под подпространством понимать подпространство (например) в нормированном пространстве, т.е замкнутое относительно линейных операций и замкнутое относительно сходимости по норме.

Ну, если Вы привыкли к функану, то Вас первым делом должно было смутить, что пространство у нас над $\mathbb{Q}$, а не над $\mathbb{R}$ или над $\mathbb{C}$. После этого всякие мысли о замкнутых подпространствах и о замыканиях должны были сами отпасть.

Вообще, это задача по линейной алгебре, а не по функану.

Добавлено спустя 4 минуты 5 секунд:

Э-э-э... Ну Вы и наделали правку! Цитируете мои сообщения раньше, чем они появляются

[ASA]

Профессор Снэйп писал(а):

выбрать в $\mathbb{R}_\mathbb{Q}$ три линейно независимых элемента (подойдут $1$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$), после чего задать $f$ и $g$ на их линейной оболочке, а вне неё положить эти функции равными нулю

Ну что ж, попробуем.
1) Если $a+b\sqrt 2+c\sqrt 3=0$ и $a,b,c\in\mathbb Q$, то $a=b=c=0$. Доказательство очевидно.
2) Пусть $X=\{a+b\sqrt 2+c\sqrt 3:\, a,b,c\in\mathbb Q\}$. Из 1) следует однозначность определения $a=a(x)$, $b=b(x)$, $c=c(x)$ из разложения $x=a+b\sqrt 2+c\sqrt 3$ для любого $x\in X$.
3) Положим
$f(x)=b(x)+c(x)$ при $x\in X$, $f(x)=0$ при $x\notin X$,
$g(x)=a(x)-c(x)$ при $x\in X$, $g(x)=0$ при $x\notin X$ и
$h(x)=f(x)+g(x)$.
Тогда $h(x)=a(x)+b(x)$ при $x\in X$ и $h(x)=0$ при $x\notin X$.
4) Множество всех периодов функции $f(x)$ есть $X_f=\{a:\, a\in\mathbb Q, a>0\}$;
множество всех периодов функции $g(x)$ есть $X_g=\{b\sqrt 2:\, b\in\mathbb Q, b>0\}$;
множество всех периодов функции $h(x)$ есть $X_h=\{c\sqrt 3:\, c\in\mathbb Q, c>0\}$.
Так пойдет?

[Dandan]

Интересно, а может ли функция (не константа) иметь континуум периодов?

[Профессор Снэйп]

ASA писал(а):

Множество всех периодов функции $f(x)$ есть $X_f=\{a:\, a\in\mathbb Q, a>0\}$;
множество всех периодов функции $g(x)$ есть $X_g=\{b\sqrt 2:\, b\in\mathbb Q, b>0\}$;
множество всех периодов функции $h(x)$ есть $X_h=\{c\sqrt 3:\, c\in\mathbb Q, c>0\}$.

Это неверно. Я ведь не зря там квадраты брал

Добавлено спустя 3 минуты 12 секунд:

Dandan писал(а):

Интересно, а может ли функция (не константа) иметь континуум периодов?

Конечно может. Возьмите в решении lofar такое разложение $\mathbb{R}_\mathbb{Q} = A \oplus B \oplus C$, в котором подпространства $A$, $B$ и $C$ континуальны.

[Dandan]

Хм, я тут подумал и понял, что ничего не понятно

Начнем с этого

lofar писал(а):

$\mathbb R_{\mathbb Q}$ можно представить в виде прямой суммы 3-х ненулевых подпространств: $\mathbb R_{\mathbb Q}=A\oplus B\oplus C$.

Почему так можно сделать?

Пусть $A=\{p\sqrt{2}, p\in \mathbb Q\}, B=\{p\sqrt{3}, p\in \mathbb Q\}$ и $\mathbb R_{\mathbb Q}=A\oplus B\oplus C$ для какого-то $C$. Возьмем $c_1 \in C$. Далее возьмем $c_2$ из $\overline{A \oplus B \oplus <c_1>} \cap C$ (черта означает дополнение). Далее возьмем $c_3$ из $\overline{A \oplus B \oplus <c_1, c_2>} \cap C$. И т.д. Если на каком-то месте остановимся, значит $C$ имеет конечный базис, значит и $\mathbb R_{\mathbb Q}$ тоже, что сомнительно (все сомнения развеял бы конкретный пример ). Если мы не остановимся, то получим последовательность $c_n$. Но тогда вообще любое число из $\mathbb R$ можно по разному представлять комбинацией $c_n$. А, правда с использованием бесконечных комбинаций. Такие значит нельзя. Ну, вобщем, понятно.

[ASA]

Профессор Снэйп писал(а):

Вот, посмотрите сюда.

Там я еще не был, но зайду.

Профессор Снэйп писал(а):

ASA писал(а):

Множество всех периодов функции $f(x)$ есть $X_f=\{a:\, a\in\mathbb Q, a>0\}$;
множество всех периодов функции $g(x)$ есть $X_g=\{b\sqrt 2:\, b\in\mathbb Q, b>0\}$;
множество всех периодов функции $h(x)$ есть $X_h=\{c\sqrt 3:\, c\in\mathbb Q, c>0\}$.

Это неверно. Я ведь не зря там квадраты брал

Имеется ввиду, что это не все периоды? Пока для меня загадка.