целые значения выражений с радикалами

[ljubarcev]

Доказать что при любом $a$ число
$\sqrt [3]{3a-1+{\sqrt {8a-3}}}+\sqrt [3]{3a-1-{\sqrt {8a-3}}}$
является корнем уравнения $X^n =1$, для любого $n$.
Дед.

[photon]

А с чего Вы решили, что это справедливо? Подставляю, скажем, $a=2$, и получаю
$\sqrt [3]{3a-1+{\sqrt {8a-3}}}+\sqrt [3]{3a-1-{\sqrt {8a-3}}}=3.16644872732149\dots$

[ljubarcev]

В исходном сообщении к сожалению опечатка в формуле.
Прошу прощения. число имеет вид:
$\sqrt [3]{3a-1+a\sqrt {8a-3}}+\sqrt [3]{3a-1-a\sqrt {8a-3}}$
Дед.

[V.V.]

ljubarcev писал(а):

В исходном сообщении к сожалению опечатка в формуле.
Прошу прощения. число имеет вид:
$\sqrt [3]{3a-1+a\sqrt {8a-3}}+\sqrt [3]{3a-1-a\sqrt {8a-3}}$
Дед.

Идея такая. Обозначим первое слагаемое за x, второе - за y.
Тогда получаем систему
$x^3+y^3=2(3a-1)$,
$xy=\sqrt[3]{(3a-1)^2-a^2(8a-3)}$.

А потом, выражая x+y, получаем кубическое уравнение...

[Руст]

ljubarcev писал(а):

Доказать что при любом $a$ число
$\sqrt [3]{3a-1+{\sqrt {8a-3}}}+\sqrt [3]{3a-1-{\sqrt {8a-3}}}$
является корнем уравнения $X^n =1$, для любого $n$.
Дед.

Придётся ещё уточнить условие задачи.
Во первых из: "$X^n=1$ для любого n" следует, что эта величина равна 1. А здесь это не так.
Во вторых не сказано, какие значения принимает а. Если предполагать, что действительные, то при 1/3<a<1/2 выражение действительное и не равно +-1, а следовательно не существует действительного n, чтобы n-ая степень равнялась 1.

[незваный гость]

Предполагая, что $X^n = 1$ для некоторого $n$, имеем $|X|=1$.

При $a = 0$ имеем $|2\sqrt [3]{-1}|=2 $. Нестыковочка-с.

[Руст]

незванный гость писал(а):

:evil:
Предполагая, что $X^n = 1$ для некоторого $n$, имеем $|X|=1$.

При $a = 0$ имеем $|2\sqrt [3]{-1}|=2 $. Нестыковочка-с.

Условие
(1) $X^n=1$
всегда выполняется для некоторого n=0.
Если оно выполняется для некоторого n не равного 0, то выполняется и для всех kn, k пробегает целые числа.
Поэтому дождёмся пока автор уточнить условие. Возможно, что предполагается о натуральности числа а и для некоторого натурального n.

[ljubarcev]

Уточняю условия задачи. Числа $a$ и $n$ - целые положительные больше Нуля каждое, так что Руст в своей догадке прав.
V.V. - у Вас тоже опечатка. Скажем прямо $X^n=1$ здесь только для того, чтобы понять,что речь идет о корнях уравнений. А доказать фактически надо тождество:

$$\sqrt [3]{3a-1+ a\sqrt{8a-3}}+\sqrt[3]{3a-1-a\sqrt{8a-3}}=1$$

при любом целом положительном a большем нуля.
Дед.

[незваный гость]

Пусть $ x = \sqrt [3]{3a-1+ a\sqrt{8a-3}}+\sqrt[3]{3a-1-a\sqrt{8a-3}}=1$. Тогда имеем (возводя в куб и упрощая) $x^3 = 2(3a-1)+3x(1-2a)$. Один из корней этого уравнения равен $1 \ \forall a$. Есть еще однако два других...

[photon]

незваный гость писал(а):

:evil:
Пусть $ x = \sqrt [3]{3a-1+ a\sqrt{8a-3}}+\sqrt[3]{3a-1-a\sqrt{8a-3}}=1$. Тогда имеем (возводя в куб и упрощая) $x^3 = 2(3a-1)+3x(1-2a)$. Один из корней этого уравнения равен $1 \ \forall a$. Есть еще однако два других...

Так давайте посмотрим на это уравнение
$x^3 = 2(3a-1)+3x(1-2a)$
или
$(x-1)(x^2+x+6a-2)=0$ - оставшиеся два корня, очевидно, комплексные при всех целых положительных $a$

[Руст]

А два других удовлетворяют уравнению
$x^2+x+1=3-6a,D=9-24a<0>3/8.$
Так как интересует только действительное решение, то при a>3/8 действительно для любого n выполняется $x^n=1$, так как х=1.

[незваный гость]

Почти согласен. Только вот... во-первых, нигде не сказано $a \geq \frac38$. Во-вторых, нигде не сказано, что рассматриваются только вещественные корни. В-третьих, я слукавил -- на самом деле, $x^3 = 2(3a-1)+3x(1-2a)\sqrt[3]{1}$. То есть, на самом деле корней-то еще больше, аккурат 9.

Все, что доказано -- это правильно выбрав $\sqrt[3]{\ }$, мы можем получить 1.

[photon]

незваный гость писал(а):

:evil:
Почти согласен. Только вот... во-первых, нигде не сказано $a \geq \frac38$.

Невнимательно следите. Здесь сказано:

ljubarcev писал(а):

Уточняю условия задачи. Числа $a$ и $n$ - целые положительные больше Нуля каждое

Странная формулировка "целые положительные больше нуля". Я бы сказал просто "натуральные"

[Руст]

На самом деле задача решается для любого действительного а>=3/8 и для любого n. В этом случае квадратный корень дает мнимое значение и в оба выражения надо подставить одно и то же значение, так что два выражения под кубическими корнями являются комплексно сопряжёнными. При этом кубические корни в двух выражениях так же надо брать согласованно (не важно какие из трёх, лишь бы комплексно сопряжённым соответствовало комплексно сопряжённые). Тогда выражение при a>=3/8 в точности равно 1.

[незваный гость]

То есть, вы поясняете, как получить 1. Этот подход используется, когда решают кубическое уравнение. Но мы-то вроде выражение упрощаем, не так ли?

По поводу неравнства для $a$ -- c photonом согласен. Действительно, мне надо внимательней читать условие.