Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

[daogiauvang]

$$\int\limits_{-1}^{1} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})}$$

[ASA]

Для начала найдем особые точки.

[daogiauvang]

ASA писал(а):

Для начала найдем особые точки.

$\ln (1+ \sqrt[3]{x}) = -\infty$ в точке $x=-1$ .

я пытался искать функцию, которая $ \lim_{ x \to -1} \frac{\ln (1+ \sqrt[3]{x})}{ g(x)} =C$. но нечье не получилось

[ASA]

А при $x=0?$

[ewert]

daogiauvang писал(а):

я пытался искать функцию, которая $ \lim_{ x \to -1} \frac{\ln (1+ \sqrt[3]{x})}{ g(x)} =C$. но нечье не получилось

Стандартный для подобных ситуаций приём: надо сделать замену $x=-1+t$, где $t\to+0$, и разложить кубический корень по формуле Тейлора.

Ну и, да -- не забывать, конечно, про особенность в точке $x=0$.

[ASA]

daogiauvang писал(а):

я пытался искать функцию, которая $ \lim_{ x \to -1} \frac{\ln (1+ \sqrt[3]{x})}{ g(x)} =C$. но нечье не получилось

ewert писал(а):

Стандартный для подобных ситуаций приём: надо сделать замену $x=-1+t$, где $t\to+0$, и разложить кубический корень по формуле Тейлора.

В точке $x=-1$ вообще проблем нет, т.к. подынтегральная функция ограничена. А вот $x=0$ особая точка. В ней подынтегральная функция неограничена. С ней и надо разбираться.

[ewert]

ASA в сообщении #202933 писал(а):

В точке $x=-1$ вообще проблем нет, т.к. подынтегральная функция ограничена.

да, это правда. Если маленько подумать, что обычно лень.

[daogiauvang]

спасибо всем...!!!
честно, еще не оч понятно!
$$I=\int\limits_{-1}^{-1/2} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})} +\int\limits_{-1.2}^{1} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})}$ $
конечно, второй интеграл сходится, а первый ???
у меня еще одна задача!!!

$$\int\limits_{2}^{\infty} \frac{x}{ \ln x} dx $$

[ewert]

1) а при чём тут минус одна вторая?... 2) тривиально расходится, т.к. функция на бесконечности уходит в бесконечность.

[ASA]

daogiauvang писал(а):

$$I=\int\limits_{-1}^{-1/2} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})} +\int\limits_{-1.2}^{1} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})}$$

конечно, второй интеграл сходится, а первый ???

Первый (левый) сходится (точнее не явл. несобственным). Второй (правый) сходится, но надо доказать.
PS: Нижний предел во втором интеграле $-1/2$. Только зачем здесь $-1/2$. Запишем так:

$$I=\int\limits_{-1}^{0} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})} +\int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})}.$$

Теперь нужно доказать сходимость обоих интегралов. А для этого исследовать поведение подынтегральной функции в окрестности точки $x=0$.