2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
Сообщение07.04.2009, 19:40 
Аватара пользователя
$$\int\limits_{-1}^{1} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})}$$

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 19:49 
Для начала найдем особые точки.

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 20:01 
Аватара пользователя
ASA писал(а):
Для начала найдем особые точки.

$\ln (1+ \sqrt[3]{x}) = -\infty$ в точке $x=-1$ .

я пытался искать функцию, которая $ \lim_{ x \to -1} \frac{\ln (1+ \sqrt[3]{x})}{ g(x)} =C$. но нечье не получилось :cry:

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 20:17 
А при $x=0?$

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 20:40 
daogiauvang писал(а):
я пытался искать функцию, которая $ \lim_{ x \to -1} \frac{\ln (1+ \sqrt[3]{x})}{ g(x)} =C$. но нечье не получилось :cry:

Стандартный для подобных ситуаций приём: надо сделать замену $x=-1+t$, где $t\to+0$, и разложить кубический корень по формуле Тейлора.

Ну и, да -- не забывать, конечно, про особенность в точке $x=0$.

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 21:05 
daogiauvang писал(а):
я пытался искать функцию, которая $ \lim_{ x \to -1} \frac{\ln (1+ \sqrt[3]{x})}{ g(x)} =C$. но нечье не получилось :cry:

ewert писал(а):
Стандартный для подобных ситуаций приём: надо сделать замену $x=-1+t$, где $t\to+0$, и разложить кубический корень по формуле Тейлора.

В точке $x=-1$ вообще проблем нет, т.к. подынтегральная функция ограничена. А вот $x=0$ особая точка. В ней подынтегральная функция неограничена. С ней и надо разбираться.

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 21:08 
ASA в сообщении #202933 писал(а):
В точке $x=-1$ вообще проблем нет, т.к. подынтегральная функция ограничена.

да, это правда. Если маленько подумать, что обычно лень.

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 21:26 
Аватара пользователя
спасибо всем...!!!
честно, еще не оч понятно!
$$I=\int\limits_{-1}^{-1/2} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})} +\int\limits_{-1.2}^{1} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})}$ $
конечно, второй интеграл сходится, а первый ???
у меня еще одна задача!!!
$$\int\limits_{2}^{\infty} \frac{x}{ \ln x} dx $$

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 21:29 
1) а при чём тут минус одна вторая?... 2) тривиально расходится, т.к. функция на бесконечности уходит в бесконечность.

 
 
 
 
Сообщение07.04.2009, 21:35 
daogiauvang писал(а):
$$I=\int\limits_{-1}^{-1/2} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})} +\int\limits_{-1.2}^{1} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})}$$
конечно, второй интеграл сходится, а первый ???

Первый (левый) сходится (точнее не явл. несобственным). Второй (правый) сходится, но надо доказать.
PS: Нижний предел во втором интеграле $-1/2$. Только зачем здесь $-1/2$. Запишем так:
$$I=\int\limits_{-1}^{0} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})} +\int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{ \ln (1+ \sqrt[3]{x})}.$$
Теперь нужно доказать сходимость обоих интегралов. А для этого исследовать поведение подынтегральной функции в окрестности точки $x=0$.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group