Заново:
Только я определение переделаю.
Опр. 
- О-периодическая функция

.

- множество всех периодов

.

- абелева группа по сложению.

- периодическая в смысле Профессора Снэйпа

.

- подгруппа группы

по сложению.
Какие бывают абелевы подгруппы у

? (этого я не знаю).
(
![$\{ 0\}; a \mathbb{Z}, a \in \mathbb{R}_+, \mathbb{Q}[a_1, ...], a_j \not \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ $\{ 0\}; a \mathbb{Z}, a \in \mathbb{R}_+, \mathbb{Q}[a_1, ...], a_j \not \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/8/4e8077b6f668b634048ec69cdffd1a3282.png)
- абелевы группы точно.
Если

- абелевы, то

- абелева. Множество абелевых групп по сложению образует коммутативный моноид. Набор подгрупп из

порождает его подмоноид - те же группы + суммы групп 2-о, 3-о типа)
А либо всюду плотна в

, либо нет. Во 2-м случае она есть

, либо

,

нам точно не интересен.
Пусть

. Тогда

не плотна в

и значит у нее есть минимальный элемент

. Если

, то будем писать

.

- наименьший положительный период

.
Пусть

с наименьшими положительными периодами

.
Если для

существует

и определен

(

соизмеримы), то

периодическая с периодом

, иначе - непериодическая.
Если

и

- периодические и для них определены

, то

, а значит

имеют общий период.
Таким образом, получается, что если

и

- периодические и

не имеют общего периода, то
![$A(f) = \mathbb{Q}[a_1, ...]$ $A(f) = \mathbb{Q}[a_1, ...]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/f/59f38256ccc1434e7afc178b679c67ce82.png)
, либо еще какой-то абелевой группе, которую я не знаю. Таковы функции, описанные у
lofar.
Короче это - совсем частный случай. Оказывается там таких абелевых групп гораздо больше.