Периодические функции

[Профессор Снэйп]

Опр. Периодом функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ называется произвольное положительное число $T \in \mathbb{R}$, такое что $f(x) = f(x + T)$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ называется периодической, если она имеет период.

Пусть $f$ и $g$ --- периодические функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. Верно ли, что

1) Если функция $h(x) = f(x) + g(x)$ является периодической, то функции $f$ и $g$ имеют общий период?

2) Если для любой функции $H : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ функция $h(x) = H(f(x),g(x))$ является периодической, то функции $f$ и $g$ имеют общий период?

[ASA]

Профессор Снэйп писал(а):

2) Если для любой функции $H : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ функция $h(x) = H(f(x),g(x))$ является периодической, то функции $f$ и $g$ имеют общий период?

Мне кажется верным следующее утверждение, из которого следует 2):
Если для любой функции $H : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ функция $h(x) = H(f(x),g(x))$ является периодической, то функции $f$ и $g$ - константы.
Или нет?

[AD]

ASA в сообщении #202404 писал(а):

Если для любой функции $H : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ функция $h(x) = H(f(x),g(x))$ является периодической, то функции $f$ и $g$ - константы.

Это вряд ли. Контрпример $f(x)=g(x)=\sin x$.

[ASA]

ASA писал(а):

Или нет?

AD писал(а):

Контрпример $f(x)=g(x)=\sin x$.

Ну тогда: или нет .

[Sonic86]

1) $f,g,h$ - периодические с периодами $T_f, T_g, T_h$
$h(x) = f(x) + g(x)$, $h(x) - f(x) = g(x)$.
Если существует $T _{f,h} =$ НОК$ (T_h, T_f)$, то $f(x+T _{f,h})=f(x)$ и $g(x+T _{f,h})=g(x)$, то есть функции $f,g$ имеют в этом случае общий период.
Если не существует $T _{f,h} =$ НОК $(T_h, T_f)$ ($T_h, T_f$ несоизмеримы), то функция $g(x) = h(x) - f(x)$ непериодическая, что противоречит условию (вроде как очевидно).
Действительно. Если некая $\phi$ имеет период $T_{\phi}$, то существует $x_0 \in [0;T_{\phi}): \phi(x_0) \neq \phi(0)$. Кроме того, если $\phi$ - периодическая, то ее можно считать непрерывной в окрестности 0.
Если несоизмеримы $T_h, T_f$, то от противного доказывается, что несоизмеримы $T_h, T_g$ и $T_f, T_g$. Предположим, что $g$ периодическая. Тогда $g(0)=g(0+nT_g)=h(0+nT_g)-f(0+nT_g)$. Поскольку $T_h, T_g$ несоизмеримы, то можно подобрать такое n, что $h(0+nT_g)$ сколь угодно мало отличается от $h(0)$. Но поскольку также несоизмеримы $T_h, T_f$, то одновременно можно подобрать $n$ таким, что $f(0+nT_g) \neq f(0)$ ($nT_g mod T_f$ сколь угодно близко к $x_0$). Получаем противоречие с $g(0) = h(0) - f(0)$.
Т. обр., 1) верно.

[ASA]

Sonic86 писал(а):

если $\phi$ - периодическая, то ее можно считать непрерывной в окрестности 0

Нет. Например, $\phi$ - функция Дирихле (т.е. $\phi(x)=1$, если $x$ - рационально, и $\phi(x)=0$, если $x$ - иррационально) периодическая (любое положительное рациональное число есть период) и разрывна в каждой точке.

Добавлено спустя 48 минут 57 секунд:

Sonic86 писал(а):

Если некая $\phi$ имеет период $T_{\phi}$, то существует $x_0 \in [0;T_{\phi}): \phi(x_0) \neq \phi(0)$

А если $\phi$ постоянна?

[Профессор Снэйп]

"Решение" Sonic86, безусловно, ошибочно. ASA уже указал на отдельные ошибки в тексте. А от себя могу сказать, что я это "решение" вообще не понимаю. Например, Sonic86 пишет

Sonic86 писал(а):

Если существует $T_{f,h} = (T_h,T_f)$...

Что обозначается через $(T_h,T_f)$, я в упор не понимаю! Обычно круглые скобки используют таким образом либо для обозначения элемента $\mathbb{R}^2$, либо для скалярного произведения. Но здесь явно не тот и не другой случай!

[vlad239]

Это имеется в виду "наибольший общий делитель", конечно.

Влад.

[Профессор Снэйп]

vlad239 писал(а):

Это имеется в виду "наибольший общий делитель", конечно.

Влад.

Тогда там вообще какой-то бред! Какой может быть "наибольший общий делитель" у двух действительных чисел?! Но даже если его определить разумным образом (например, чтобы соблюдались равенства типа $(6\pi,4\pi)=2\pi$ и т. п.), то всё равно получается полная чухня. Там скорее уж тогда не "наибольший общий делитель", а "наименьшее общее кратное" требуется.

Добавлено спустя 7 минут 12 секунд:

Ага. Я навёл мышкой на текст и выяснил, что как раз "наименьшее общее кратное" и имелось в виду.

Ошибочным "доказательство" от этого быть не перестаёт. К замечаниям ASA добавлю ещё одно: у функции $g$ может быть много периодов, одни из них соизмеримы с $T_f$, а другие нет. Sonic86 же берёт просто какой-то период и на основании несоизмеримости его с (опять же случайным образом выбранным) периодом $T_f$ делает какие-то далеко идущие выводы!

Впрочем, всё это устранимо. А вот тот факт, что периодическая функция не обязана быть непрерывной в какой-то окрестности нуля, не обойдёшь никак. "Доказательство" Sonic86 на этот момент существенно опирается.

[Sonic86]

Я исправил. Извините за кривой текст, забыл, что НОК не отобразится.
Насчет непрерывности - действительно она не обязательна.
Насчет периодичности - спутал с обычными периодическими функциями. У Вас, Профессор Снэйп, получается более общее понятие, чем обычные периодические функции. Обычные периодические - это в точности Ваши периодические, у которых на множестве периодов есть положительный инфимум.
В общем, у меня верно только для непрерывных и обычных периодических, для остальных неверно.
Я правильно понял?

[Профессор Снэйп]

Sonic86 писал(а):

Обычные периодические - это в точности Ваши периодические, у которых на множестве периодов есть положительный инфимум.

Первый раз такое слышу.

Как бы то ни было, все необходимые определения я дал перед формулировкой задачи, так что разночтений возникнуть не должно.

А что касается того, для какого класса периодических функций верно Ваше доказательство... Вы его сначала в божеский вид приведите, что ли! А то написано крайне неряшливо, с кучей совершенно ненужного хлама и явными ошибками в рассуждениях (на одну из них я Вам уже указал, на другие указал ASA). А в том, что есть сейчас, разбираться нет ни малейшего желания.

Добавлено спустя 9 минут 6 секунд:

Начните рассуждение, например, так:

Допустим, что у функций $f$ и $g$ нет общего периода. Существуют некоторые положительные числа $T_f$ и $T_g$, являющиеся периодами функций $f$ и $g$ соответственно. Эти числа несоизмеримы (иначе бы общий период существовал)...

Ну и далее, в том же духе. Зачем Вы склоняете туда-сюда эту тройку функций, то рассматривая $T_h$, то вычитая $f$ из $h$ и опять переходя к $T_g$? Какая-то бессмысленная возня!

Добавлено спустя 3 минуты 14 секунд:

$$ \text{НОК}(T_f,T_g) $$

$$\text{НОК}(T_f,T_g)$$

[lofar]

Ограничимся аддитивными функциями, т. е. такими, что $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Для аддитивной функции группа ее периодов совпадает с ее ядром.

$\mathbb R_{\mathbb Q}$ можно представить в виде прямой суммы 3-х ненулевых подпространств: $\mathbb R_{\mathbb Q}=A\oplus B\oplus C$. Для $a\in A$, $b\in B$, $c\in C$ положим $f(a+b+c)=b+c$ и $g(a+b+c)=a-c$, тогда $h(a+b+c)=a+b$. Группы периодов $f$, $g$ и $h$ это $A$, $B$ и $C$, соответственно. Все 3 функции периодические, но ни у каких 2-х из них нет общих периодов.

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

Ограничимся аддитивными функциями, т. е. такими, что $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Для аддитивной функции группа ее периодов совпадает с ее ядром.

$\mathbb R_{\mathbb Q}$ можно представить в виде прямой суммы 3-х ненулевых подпространств: $\mathbb R_{\mathbb Q}=A\oplus B\oplus C$. Для $a\in A$, $b\in B$, $c\in C$ положим $f(a+b+c)=b+c$ и $g(a+b+c)=a-c$, тогда $h(a+b+c)=a+b$. Группы периодов $f$, $g$ и $h$ это $A$, $B$ и $C$, соответственно. Все 3 функции периодические, но ни у каких 2-х из них нет общих периодов.

Ага, согласен. У меня практически такое же решение.

Как насчёт второго вопроса? Если что, то ответ на него мне неизвестен (в отличие от первого).

Вот третья задача в ту же тему:

3. Существует ли периодическая функция $f$, такая что $f(x+1) = f(x) + 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$?

После данного lofar решения первой задачи ответ на этот вопрос очевиден. Но он является несколько неожиданным для тех, кто привык к непрерывным периодическим функциям типа синуса.

[Sonic86]

Заново:
Только я определение переделаю.
Опр. $\phi(x)$ - О-периодическая функция $\Leftrightarrow (\exists T \in \mathbb{R})\phi (x+T)= \phi(x)$.
$A(\phi)$ - множество всех периодов $\phi$. $A(\phi)$ - абелева группа по сложению.
$\phi$ - периодическая в смысле Профессора Снэйпа $\Leftrightarrow A(\phi) \neq \{ 0\}$.
$A(\phi)$ - подгруппа группы $\mathbb{R}$ по сложению.
Какие бывают абелевы подгруппы у $\mathbb{R}$? (этого я не знаю).
($\{ 0\}; a \mathbb{Z}, a \in \mathbb{R}_+, \mathbb{Q}[a_1, ...], a_j \not \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ - абелевы группы точно.
Если $A,B$ - абелевы, то $A+B = \{ a+b: a \in A, b \in B\}$ - абелева. Множество абелевых групп по сложению образует коммутативный моноид. Набор подгрупп из $\mathbb{R}$ порождает его подмоноид - те же группы + суммы групп 2-о, 3-о типа)
А либо всюду плотна в $\mathbb{R}$, либо нет. Во 2-м случае она есть $\{ 0\}$, либо $a \mathbb{Z}, a \in \mathbb{R}_+$, $\{ 0\}$ нам точно не интересен.
Пусть $A=a \mathbb{Z}$. Тогда $A$ не плотна в $\mathbb{R}$ и значит у нее есть минимальный элемент $T>0$. Если $A=A(\phi)$, то будем писать $T=T_{\phi}$. $T$ - наименьший положительный период $\phi$.
Пусть $f,g,h: A(f)=a_f \mathbb{Z},A(g)=a_g \mathbb{Z},A(h)=a_h \mathbb{Z}$ с наименьшими положительными периодами $T_f,T_g,T_h$.
Если для $f,g$ существует $T_f,T_g$ и определен $T={НОК}(T_f,T_g)$ ($T_f,T_g$ соизмеримы), то $f+g$ периодическая с периодом $T$, иначе - непериодическая.
Если $h=f+g$ и $f,g,h$ - периодические и для них определены $T_f,T_g,T_h$, то $T_h={HOK}(T_f,T_g)$, а значит $f,g$ имеют общий период.

Таким образом, получается, что если $h=f+g$ и $f,g,h$ - периодические и $f,g$ не имеют общего периода, то $A(f) = \mathbb{Q}[a_1, ...]$, либо еще какой-то абелевой группе, которую я не знаю. Таковы функции, описанные у lofar.

Короче это - совсем частный случай. Оказывается там таких абелевых групп гораздо больше.

[ASA]

lofar писал(а):

Ограничимся аддитивными функциями, т. е. такими, что $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Для аддитивной функции группа ее периодов совпадает с ее ядром.
$\mathbb R_{\mathbb Q}$ можно представить в виде прямой суммы 3-х ненулевых подпространств: $\mathbb R_{\mathbb Q}=A\oplus B\oplus C$.

А теперь для тупых неалгебраистов. Ядро $f(x)$ - это ядро в обычном понимании $\{x\in\mathbb R: f(x)=0\}?$ $\mathbb R_{\mathbb Q}$ - это что фактор-группа какая-то? И хорошо бы примеры $A, B, C.$