Колебания реальной струны

[Lesobrod]

Прошу прощения за баян, но...
Возьмем классическую струну,оттянем ее в виде треугольника и отпустим.
Решая классическое волновое уравнение, получим, что этот треугольник так и будет колебаться вверх-вниз. Но невооруженным глазом видно, что за доли(сотые?) секунды струна примет форму арки синусоиды. На данный момент я понял, что это связано с затуханием гармоник - чем больше номер, тем быстрее.
А треугольник - это сумма всех гармоник с начальными амплитудами.
Вопрос 1 - правильно ли я понял.
Вопрос 2 - где можно подробно почитать про переходные процессы свободных колебаний.
Скачал штук 10 хороших учебников - ничего, только классический ряд Фурье или переходные процессы при внешней силе. Заранее спасибо!

[e2e4]

Цитата:

Возьмем классическую струну,оттянем ее в виде треугольника и отпустим.
Решая классическое волновое уравнение, получим, что этот треугольник так и будет колебаться вверх-вниз. Но невооруженным глазом видно, что за доли(сотые?) секунды струна примет форму арки синусоиды. На данный момент я понял, что это связано с затуханием гармоник - чем больше номер, тем быстрее.
А треугольник - это сумма всех гармоник с начальными амплитудами.
Вопрос 1 - правильно ли я понял.

Звучит правдоподно.

[Парджеттер]

Lesobrod в сообщении #199984 писал(а):

Решая классическое волновое уравнение, получим, что этот треугольник так и будет колебаться вверх-вниз.

Как это?

Lesobrod в сообщении #199984 писал(а):

Вопрос 2 - где можно подробно почитать про переходные процессы свободных колебаний.

А что значит "переходные процессы"? Вы ведь решаете нестационарное уравнение колебаний (я надеюсь). Вот Вам и переходные процессы.

[ewert]

Lesobrod в сообщении #199984 писал(а):

На данный момент я понял, что это связано с затуханием гармоник - чем больше номер, тем быстрее.

Идеологически -- правильно. Чем больше частота гармоники, тем быстрее колебания и, следовательно, тем сильнее гасятся они диссипативными силами. И асимптотически в решении остаётся только главная гармоника, постепенно затухающая.

[Lesobrod]

Цитата:

А что значит "переходные процессы"? Вы ведь решаете нестационарное уравнение колебаний (я надеюсь). Вот Вам и переходные процессы.

А-э-э простите...Нестационарное уравнение - это с учетом всех потерь? А как правильно его записать?

[Парджеттер]

Lesobrod в сообщении #200050 писал(а):

А-э-э простите...Нестационарное уравнение - это с учетом всех потерь? А как правильно его записать?

Нестационарное - это нестационарное. То есть зависящее от времени. Такое примерно

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

если Вас интересуют свободные колебания.

[ewert]

Так у него оно и есть нестационарное -- с самого начала. Разве что с поправкой, приводящей к затуханию. Но собственно к нестационарности это отношения не имеет. Всё-таки полезно отделять мух от котлет.

[Lesobrod]

Свободные затухающие!! Причем мои наблюдения показывают, что гармоники затухают явно не одинаково. Хотелось бы увидеть реалистичные члены ) в уравнении колебаний.

[Парджеттер]

ewert в сообщении #200058 писал(а):

Так у него оно и есть нестационарное -- с самого начала. Разве что с поправкой, приводящей к затуханию. Но собственно к нестационарности это отношения не имеет. Всё-таки полезно отделять мух от котлет.

Есть два типа процессов - установившиеся и переходные. Процесс установления колебаний после оттягивания струны - переходной.
При рассмотрении стационарных систем переходных процессов быть не может. Они могут быть только в нестационарных системах.

Lesobrod в сообщении #200061 писал(а):

Хотелось бы увидеть реалистичные члены

Ну надо вывести уравнение колебаний с учетом затухания.

[Lesobrod]

Цитата:

Ну надо вывести уравнение колебаний с учетом затухания.

Ну спасибо!!! Я с этого и начинал!
Может все-таки литературку подскажите. И потом - проверьте сами - колебание струны даже с потерями продолжается секунды, а форма начальных условий теряется за сотые доли. Пока никто внятно не объяснил почему. [/url]

[Андрей123]

Lesobrod писал(а):

Цитата:

Ну надо вывести уравнение колебаний с учетом затухания.

Ну спасибо!!! Я с этого и начинал!
Может все-таки литературку подскажите. И потом - проверьте сами - колебание струны даже с потерями продолжается секунды, а форма начальных условий теряется за сотые доли. Пока никто внятно не объяснил почему. [/url]

Уравнение колебаний струны при учете линейной зависимости сопротивления среды от скорости будет иметь следующий вид:
$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} +\mu \frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$.
Его можно решать аналогично уравнению свободных колебаний, т.е. методом разделения переменных. В ответе как раз получите то, о чем говорили. Чем старше номер гармоники, тем больше коэффициент при $-t$ в степени экспоненты и тем быстрее она будет затухать.

[Lesobrod]

С последним ответом все стало на свои места

[Парджеттер]

Lesobrod в сообщении #202298 писал(а):

С последним ответом все стало на свои места

Ну а что Вы хотели? Я ж Вам говорил - выведите уравнение колебаний для среды с затуханием. К примеру, затухание можно взять линейным. При этом члены, отвечающие за затухание будут выражаться через нечетные производные. Это все довольно очевидно. Только, когда Вы вводите затухание в исходное уравнение, Вам надо его ввести с параметром - к примеру, это может быть характерное время релаксации. Оно уже должно быть заложено в Ваше уравнение - из уравнения Вы его не получите.

[Lesobrod]

Хорошо, спасибо, Парджеттер!
Я, правда, немного запутался в очевидных вещах. Если есть возможность - черкните мнение по паре неочевидных вопросов.
1. Будет ли параметр затухания \mu одинаковым для всех гармоник?
2. Если имеется не струна, а твердое тело, и колебания возбуждаются ударом, что можно сказать об АТАКЕ, т.е. нарастании колебаний? Как правильно составить начальные условия, чтобы получилась атака?

[Парджеттер]

Lesobrod писал(а):

Хорошо, спасибо, Парджеттер!
Я, правда, немного запутался в очевидных вещах. Если есть возможность - черкните мнение по паре неочевидных вопросов.
1. Будет ли параметр затухания \mu одинаковым для всех гармоник?
2. Если имеется не струна, а твердое тело, и колебания возбуждаются ударом, что можно сказать об АТАКЕ, т.е. нарастании колебаний? Как правильно составить начальные условия, чтобы получилась атака?

1. Очевидно, да. Потому что параметр релаксации входит в исходное уравнение Навье-Стокса... извините, уравнение движения
2. Я не совсем понимаю, что означает "нарастание колебаний".