2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Колебания реальной струны
Сообщение29.03.2009, 18:24 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Прошу прощения за баян, но...
Возьмем классическую струну,оттянем ее в виде треугольника и отпустим.
Решая классическое волновое уравнение, получим, что этот треугольник так и будет колебаться вверх-вниз. Но невооруженным глазом видно, что за доли(сотые?) секунды струна примет форму арки синусоиды. На данный момент я понял, что это связано с затуханием гармоник - чем больше номер, тем быстрее.
А треугольник - это сумма всех гармоник с начальными амплитудами.
Вопрос 1 - правильно ли я понял.
Вопрос 2 - где можно подробно почитать про переходные процессы свободных колебаний.
Скачал штук 10 хороших учебников - ничего, только классический ряд Фурье или переходные процессы при внешней силе. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 18:57 


21/03/06
1545
Москва
Цитата:
Возьмем классическую струну,оттянем ее в виде треугольника и отпустим.
Решая классическое волновое уравнение, получим, что этот треугольник так и будет колебаться вверх-вниз. Но невооруженным глазом видно, что за доли(сотые?) секунды струна примет форму арки синусоиды. На данный момент я понял, что это связано с затуханием гармоник - чем больше номер, тем быстрее.
А треугольник - это сумма всех гармоник с начальными амплитудами.
Вопрос 1 - правильно ли я понял.

Звучит правдоподно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 19:40 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Lesobrod в сообщении #199984 писал(а):
Решая классическое волновое уравнение, получим, что этот треугольник так и будет колебаться вверх-вниз.

Как это?

Lesobrod в сообщении #199984 писал(а):
Вопрос 2 - где можно подробно почитать про переходные процессы свободных колебаний.

А что значит "переходные процессы"? Вы ведь решаете нестационарное уравнение колебаний (я надеюсь). Вот Вам и переходные процессы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 19:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Lesobrod в сообщении #199984 писал(а):
На данный момент я понял, что это связано с затуханием гармоник - чем больше номер, тем быстрее.

Идеологически -- правильно. Чем больше частота гармоники, тем быстрее колебания и, следовательно, тем сильнее гасятся они диссипативными силами. И асимптотически в решении остаётся только главная гармоника, постепенно затухающая.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:29 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Цитата:
А что значит "переходные процессы"? Вы ведь решаете нестационарное уравнение колебаний (я надеюсь). Вот Вам и переходные процессы.

А-э-э простите...Нестационарное уравнение - это с учетом всех потерь? А как правильно его записать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:37 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Lesobrod в сообщении #200050 писал(а):
А-э-э простите...Нестационарное уравнение - это с учетом всех потерь? А как правильно его записать?

Нестационарное - это нестационарное. То есть зависящее от времени. Такое примерно
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
если Вас интересуют свободные колебания.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Так у него оно и есть нестационарное -- с самого начала. Разве что с поправкой, приводящей к затуханию. Но собственно к нестационарности это отношения не имеет. Всё-таки полезно отделять мух от котлет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:46 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Свободные затухающие!! Причем мои наблюдения показывают, что гармоники затухают явно не одинаково. Хотелось бы увидеть реалистичные члены ;)) в уравнении колебаний.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 20:51 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
ewert в сообщении #200058 писал(а):
Так у него оно и есть нестационарное -- с самого начала. Разве что с поправкой, приводящей к затуханию. Но собственно к нестационарности это отношения не имеет. Всё-таки полезно отделять мух от котлет.

Есть два типа процессов - установившиеся и переходные. Процесс установления колебаний после оттягивания струны - переходной.
При рассмотрении стационарных систем переходных процессов быть не может. Они могут быть только в нестационарных системах.

Lesobrod в сообщении #200061 писал(а):
Хотелось бы увидеть реалистичные члены

Ну надо вывести уравнение колебаний с учетом затухания.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 21:48 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Цитата:
Ну надо вывести уравнение колебаний с учетом затухания.

Ну спасибо!!! Я с этого и начинал!
Может все-таки литературку подскажите. И потом - проверьте сами - колебание струны даже с потерями продолжается секунды, а форма начальных условий теряется за сотые доли. Пока никто внятно не объяснил почему. [/url]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2009, 17:22 


01/12/06
463
МИНСК
Lesobrod писал(а):
Цитата:
Ну надо вывести уравнение колебаний с учетом затухания.

Ну спасибо!!! Я с этого и начинал!
Может все-таки литературку подскажите. И потом - проверьте сами - колебание струны даже с потерями продолжается секунды, а форма начальных условий теряется за сотые доли. Пока никто внятно не объяснил почему. [/url]

Уравнение колебаний струны при учете линейной зависимости сопротивления среды от скорости будет иметь следующий вид:
$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} +\mu \frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$.
Его можно решать аналогично уравнению свободных колебаний, т.е. методом разделения переменных. В ответе как раз получите то, о чем говорили. Чем старше номер гармоники, тем больше коэффициент при $-t$ в степени экспоненты и тем быстрее она будет затухать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 20:32 
Аватара пользователя


22/09/08
174
С последним ответом все стало на свои места

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 20:41 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Lesobrod в сообщении #202298 писал(а):
С последним ответом все стало на свои места

Ну а что Вы хотели? Я ж Вам говорил - выведите уравнение колебаний для среды с затуханием. К примеру, затухание можно взять линейным. При этом члены, отвечающие за затухание будут выражаться через нечетные производные. Это все довольно очевидно. Только, когда Вы вводите затухание в исходное уравнение, Вам надо его ввести с параметром - к примеру, это может быть характерное время релаксации. Оно уже должно быть заложено в Ваше уравнение - из уравнения Вы его не получите.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 21:29 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Хорошо, спасибо, Парджеттер!
Я, правда, немного запутался в очевидных вещах. Если есть возможность - черкните мнение по паре неочевидных вопросов.
1. Будет ли параметр затухания \mu одинаковым для всех гармоник?
2. Если имеется не струна, а твердое тело, и колебания возбуждаются ударом, что можно сказать об АТАКЕ, т.е. нарастании колебаний? Как правильно составить начальные условия, чтобы получилась атака?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2009, 22:37 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Lesobrod писал(а):
Хорошо, спасибо, Парджеттер!
Я, правда, немного запутался в очевидных вещах. Если есть возможность - черкните мнение по паре неочевидных вопросов.
1. Будет ли параметр затухания \mu одинаковым для всех гармоник?
2. Если имеется не струна, а твердое тело, и колебания возбуждаются ударом, что можно сказать об АТАКЕ, т.е. нарастании колебаний? Как правильно составить начальные условия, чтобы получилась атака?

1. Очевидно, да. Потому что параметр релаксации входит в исходное уравнение Навье-Стокса... извините, уравнение движения :)
2. Я не совсем понимаю, что означает "нарастание колебаний".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group