что следует из теоремы Геделя

[AD]

Xaositect в сообщении #201927 писал(а):

я знаю, что если арифметика натуральных чисел непротиворечива, то 17-простое число в арифметике натуральных чисел

А если она противоречива, то тем более. Так что знание абсолютно

[Xaositect]

AD в сообщении #201929 писал(а):

А если она противоречива, то тем более. Так что знание абсолютно

Да, действительно
Ну значит вообще все хорошо.

[Someone]

AD в сообщении #201839 писал(а):

Забавно. Но есть решение и в чистой ZFC.

Какое?

Nxx в сообщении #201825 писал(а):

Все, что связано с абстракцией актуальной бесконечности, очевидно не имеет отношения к реальности.

Nxx в сообщении #201825 писал(а):

Понимаете ли, в природе нет бесконечных объектов, бесконечных множеств и возможностей обрабатывать бесконечные объемы информации. Поэтому все теории, построенные на таких принципах по определению, не имеют отношения к реальности.

В природе также нет конечных множеств и нет натуральных чисел. Поэтому все теории, использующие натуральные числа, по Вашему "определению" не имеют отношения к реальности.

А объяснить, что такое актуальная бесконечность, и какое она имеет отношение к математике вообще и к теории множеств в частности, пока никто не смог. Правда, epros заявил, что актуальная бесконечность - это множество, мощность которого не меньше мощности какого-нибудь индуктивного множества, но это не ответ на вопрос. Такой "ответ" ничего не объясняет, а просто приклеивает ярлык. В теории множеств и вообще в математике такого определения нет, так что это личное изобретение eprosа.
Понятие актуальной бесконечности происходит из времён более чем столетней давности, когда ещё была сильна тенденция рассматривать математику как некоторый род физики. Можно либо представлять себе, что элементы бесконечного множества лежат перед нами все сразу большой кучей (актуальная бесконечность), либо, напротив, что эти элементы появляются перед нами по мере того, как мы их "используем" (потенциальная бесконечность). Для математики и та, и другая интерпретации совершенно безразличны. Первая интерпретация для человека психологически более естественна и более удобна, поэтому обычно её и придерживаются. Конструктивисты "из прынцыпа" придерживаются второй. Формулы при этом и те, и другие пишут одинаковые.

[AD]

Someone в сообщении #201952 писал(а):

Какое?

Сдаётесь? Решение белым шрифтом:
Потому что если бы объединение любой цепочки множеств меры нуль имело бы меру нуль, то множество множеств меры нуль удовлетворяло бы лемме цорна

[Droog_Andrey]

Someone в сообщении #201952 писал(а):

В природе также нет конечных множеств и нет натуральных чисел.

Опрометчивое утверждение.

[Someone]

Droog_Andrey, предъявите какое-нибудь натуральное число, имеющееся в природе. Не забывайте только, что у математиков есть некоторое определение натуральных чисел, и Ваш объект должен соответствовать этому определению. То есть, например, пара яблок в качестве примера числа $2$ не пройдёт. Также эта пара яблок не пройдёт как пример конечного множества, подразумеваемого теорией ZFC. В ZFC нет яблок, а элементы множеств сами являются множествами.

AD в сообщении #201970 писал(а):

Сдаётесь? Решение белым шрифтом

Понял, что Вы имеете в виду. Но я первоначальную задачу понял иначе.

[AD]

Someone в сообщении #201976 писал(а):

Но я первоначальную задачу понял иначе.

А? Что? Я что-то еще плохо сформулировал?

[Someone]

AD в сообщении #201978 писал(а):

А? Что? Я что-то еще плохо сформулировал?

Нет. Просто я не очень внимательно прочёл условие, а последовавшие за условием рассуждения с использованием континуум-гипотезы привели к некоторой деформации восприятия задачи.

[id]

AD
( по поводу последнего решения )
Т.е. тогда в множестве всех подмножеств $[0,1]$ меры ноль будет по Л. Цорна максимальный по включению элемент, которого быть не может ( можно добавить еще одну точку, т.к. не совпадает с отрезком )?

Красиво.

[nikov]

Skipper писал(а):

А с какой стати мы имеем право объявлять такое утверждение, как новую аксиому? Если мы не знаем, истинно оно или ложно. Это оправданно еще для очевидных вещей типа "две плоскости пересекаются по прямой" - аксиома геометрии. Но неочевидные аксиомы плодить никак нельзя.

Можно добавлять только интуитивно истинные аксиомы. Например, оттолкнувшись от интуитивно истинной и интуитивно непротиворечивой арифметики Пеано ($PA$), можно пополнить ее схемой аксиом "Если высказывание $\Phi$ доказуемо в теории $PA$, то $\Phi$", и обозначить полученную теорию $PA_1$. В ней будут доказуемы многие интересные вещи, например непротиворечивость $PA$. И дальше, каждую теорию $T$ можно пополнять схемой аксиом "Если высказывание $\Phi$ доказуемо в теории $T$, то $\Phi$". Этот процесс можно продолжнать до бесконечности и даже дальше (добавляя объединение счетного набора схем аксиом).

Где-то я читал, что то ли Тьюринг, то ли Феферман показали, что в одной из расширенных теорий обязательно обнаружится или доказательство или опровержение (доказательство отрицания) любого высказывания. Но доказательство этого мне найти не удалось.

[Alexey Romanov]

Someone писал(а):

Понятие актуальной бесконечности происходит из времён более чем столетней давности

Конечно, две с половиной тысячи лет -- больше, чем сто, но я бы не сказал, что Аристотель рассматривал

Цитата:

математику как некоторый род физики

Цитата:

Конструктивисты "из прынцыпа" придерживаются второй. Формулы при этом и те, и другие пишут одинаковые.

В смысле, что конструктивист и классик согласятся по поводу того, является ли что-то формулой? Тогда да. Но по поводу того, доказана ли эта формула, они часто не соглашаются.

[AD]

id: Да, так. Прочитал на хоумпейдже одного американского (или не уверен) профессора.

[Droog_Andrey]

Someone в сообщении #201976 писал(а):

предъявите какое-нибудь натуральное число, имеющееся в природе

Заряд альфа-частицы равен 2. А вообще - обсуждалось уже в дискуссионной физике.

[Someone]

Droog_Andrey в сообщении #202222 писал(а):

Заряд альфа-частицы равен 2

Гы-гы-гы!

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

Alexey Romanov в сообщении #202101 писал(а):

Но по поводу того, доказана ли эта формула, они часто не соглашаются.

Пускай не соглашаются. Средства доказательства-то у них разные.

Добавлено спустя 9 минут 32 секунды:

Alexey Romanov в сообщении #202101 писал(а):

но я бы не сказал, что Аристотель рассматривал

Насчёт Аристотеля я не в курсе. Никогда не встречал его высказываний о теории множеств.
Если Вы изложите здесь (лучше - в теме об актуальной бесконечности) мнение Аристотеля об актуальной и потенциальной бесконечности, это может быть интересно.

[epros]

Pi писал(а):

Вот пример со времен Евклида все пытались безуспешно доказать что есть только две параллельные прямые что не пересекаются. И применяли это ко всему что видели без зазрения, что так есть всегда. Но в 19 веке Лобачевский доказал что ее нельзя доказать, тем самым установив что это Аксиома, и ввел понятие Евклидовой геометрии - где это выполняется и не-Ег - геометрию Лобачевского - с другой акиомой пралельности. Потом появился Риман. И сейчас для старых теорем мы должны говорить что они выполнябтся в Ег.

Вот вам пример расширения Аксиомами и пример применимости в Физике, на которой построенна вся теория относительности.

Исключение пятого постулата Евклида из геометрии больше похоже на "сужение" аксиоматики, чем на "расширение".

Someone писал(а):

А объяснить, что такое актуальная бесконечность, и какое она имеет отношение к математике вообще и к теории множеств в частности, пока никто не смог. Правда, epros заявил, что актуальная бесконечность - это множество, мощность которого не меньше мощности какого-нибудь индуктивного множества, но это не ответ на вопрос. Такой "ответ" ничего не объясняет, а просто приклеивает ярлык.

Если "приклеить ярлык" означает "приклеить этикетку с названием", то что в этом плохого? Я просто объяснил, к чему конкретно готов приклеивать этикетку с названием "актуальная бесконечность".

Someone писал(а):

В теории множеств и вообще в математике такого определения нет, так что это личное изобретение eprosа.

Определения любых терминов являются чьими-то "личными изобретениями", но Вы преувеличиваете мою роль: я на приоритет в определении понятия актуальной бесконечности не претендую.

Someone писал(а):

Понятие актуальной бесконечности происходит из времён более чем столетней давности, когда ещё была сильна тенденция рассматривать математику как некоторый род физики. Можно либо представлять себе, что элементы бесконечного множества лежат перед нами все сразу большой кучей (актуальная бесконечность), либо, напротив, что эти элементы появляются перед нами по мере того, как мы их "используем" (потенциальная бесконечность). Для математики и та, и другая интерпретации совершенно безразличны.

Вывод в последнем предложении неверен. С точки зрения математической логики (а именно - исчисления предикатов первого порядка, хоть классического, хоть конструктивного) "бесконечность" является характеристикой свойства, а поскольку свойства в логике первого порядка не могут интерпретироваться как объекты, утверждение об актуальном существовании бесконечного объекта является нетривиальной особенностью некоторых теорий сравнительно с некоторыми другими теориями.