Точка пересечения медиан (на комплексной плоскости)

[TOTAL]

Для треугольников центр масс пластины совпадает с центром масс равных масс в вершинах. Для многоугольников такого совпадения нет. Равномерное распределение массы по периметру даст другой результат даже для треугольника.

[e7e5]

ewert писал(а):

в обсуждаемом вопросе используется только линейный изоморфизм между $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}^2$ и ничего более -- именно поэтому никакого значения комплексная специфика здесь и не имеет.

Простите, но очевидность вычисления центра масс для точек $z_i$ на комплексной плоскости в свете высказывания для меня отсутствует.

Может стоит рассуждать так. Ввести определение ц.м.:
Ц.М. системы материальных точек $m_iA_i$ называется точка $M$, для которой имеет место равенство:
$ m_1 \overline{MA_1}+m_2 \overline{MA_2}+...+m_n \overline{MA_n} = \overline{0}$

Имея определение чисто математически вывести свойство ц.м.
Т.е. нужно как то показать:
Если $M$ - ц.м. системы материальных точек $m_iA_i$ ($i=1;2;...;n$)
то при любом выборе точки $O$ на плоскости справедливо:

$\overline{OM}= \frac {m_1 \overline{OA_1}+...+m_n \overline{OA_n}} {m_1+...+m_n}$

Вот если это утверждение доказать ( как?), то мне будет понятно, что указанные вектора можно лекго заменить комплексными числами - просто иное представление. Возможно это и имелось ввиду под "линейным изоморфизмом"

[Yu_K]

Вот такая задача тоже вроде в тему. На школьной олимпиаде было - каждая из вершин треугольника равномерно движется по некоторой своей окружности, при этом полный оборот каждой вершины происходит за одно и то же время Т. Что можно сказать про траекторию центра масс этой системы точек. Если радиусы одинаковы, массы точек одинковы и весь треугольник движется, как жесткая конструкция - то понятно траектория ЦМ - тоже окружность того же радиуса. А вот если радиусы разные, массы точек разные и вращение точек идет в разные стороны (против часовой и по часовой), или если сдвиг есть фазовый у каждой точки (треугольник будет деформироваться при движении) - то хватит ли школьных знаний для решения такой задачи?

[ewert]

e7e5 в сообщении #201357 писал(а):

Вот если это утверждение доказать ( как?),

Что значит -- как? Ваше последнее равенство -- это как раз определение центра масс, а то, что Вы предлагали принять за определение -- элементарное следствие из него, получаемое домножением на знаменатель и потом переносом левой части направо.

e7e5 в сообщении #201357 писал(а):

Возможно это и имелось ввиду под "линейным изоморфизмом"

Вовсе не это, а гораздо более тривиальная вещь: если отождествить комплексное число $z=x+iy$ с вектором $\vec r=(x,y)$, то сложению комплексных чисел в точности соответствует сложение векторов, и умножению на вещественное число -- аналогично.

Yu_K в сообщении #201416 писал(а):

то хватит ли школьных знаний для решения такой задачи?

По идее -- должно хватить:

$$\begin{cases} \Delta x(t)= \cos t\cdot\sum_kr_k\mu_k\cos\varphi_k+\sin t\cdot\sum_kr_k\mu_k\sin\varphi_k=R\,\cos(t-\psi); \\ \Delta y(t)= \sin t\cdot\sum_kr_k\mu_k\cos\varphi_k-\cos t\cdot\sum_kr_k\mu_k\sin\varphi_k=R\,\sin(t-\psi). \end{cases}$$

Вроде бы ничего, выходящего за рамки школьной программы, тут нет.
А вот если вращаются в разные стороны, то будет эллипс; он уже, кажется, в школьную программу не входит.

[Yu_K]

ewert писал (а)

Цитата:

Вроде бы ничего, выходящего за рамки школьной программы, тут нет. А вот если вращаются в разные стороны, то будет эллипс.

Не полный перечень траекторий ЦМ. Еще что может быть кроме окружности и эллипса? Может быть "точка" - т.е. ЦМ находится на месте - при каких условиях это будет? И может ли получиться траектория ЦМ - "отрезок"?

[Dimoniada]

Может вопрос и глупый, но раз тема поднята...Вот задаю я 2 точки $A(a)$ и $B(b)$ на комплексной пл-сти на окрудности $z\overline{z} = 1$. И хочу найти середину дуги $AB$ , получаю 2 значения $\pm \sqrt{ab}$. Как понять, какое значение соответвтвует середине выбранной мною дуги?

[gris]

Две точки задают две дуги на окружности. На каждой из дуг есть середина. Выбираю одну из середин, Вы тем самым выбираете дугу.
Если же Вы выбрали дугу другим способом, то уж определите каким. Например, это дуга меньшей длины. Или в направлении против часовой стрелки от точки $A$...
В зависимости от способа и будет найдена точка, являющаяся серединой именно этой дуги.

[Dimoniada]

Спс за уточнение, выбираю дугу меньшей длины. Как же выбрать значение её "середины" тогда...

[gris]

Тогда вектор $AB$ должен пересекать вектор $OC$, где $C$ - середина дуги. Раз уж мы говорим в терминах векторов.

Просто по знаку Вы не определите. Если начало координат, т.е. центр окружности, лежит с $C$ по одну сторону от $AB$, то это середина большей дуги, если по разные, то меньшей, а если $AB$ диаметр, то дуги одинаковой длины.

Обратите внимание, что середина дуги, середина хорды и центр окружности лежат на одной прямой.

А если числа заданы в экпоненциальной или тригонометрической форме, то вообще выбирать не надо. Вы бутете сразу находить то, что нужно.

[TOTAL]

удлалено

[ewert]

Dimoniada в сообщении #201903 писал(а):

Спс за уточнение, выбираю дугу меньшей длины. Как же выбрать значение её "середины" тогда...

Ту, для которой (вещественный) коэффициент пропорциональности между $(a+b)$ и$\pm\sqrt{ab}$ положителен.