Подгруппа C*, состоящая из 16 элементов

[Niclax]

Здравствуйте! Подскажите, как решить задачу:

Докажите, что существует только одна подгруппа группы $\mathbb{C}^*$$, состоящая из 16 элементов.
($\mathbb{C}^*$$ - группа комплексных чисел относительно умножения)

[Xaositect]

Давайте начнем с конца. Какая это будет подгруппа?

[Brukvalub]

Xaositect в сообщении #202007 писал(а):

Давайте начнем с конца. Какая это будет подгруппа?

Еще "концовее" - каковы модули всех элементов группы?

[Niclax]

Xaositect
нормальная
Brukvalub
Любые, кроме 0

[id]

Niclax
А Вы возьмите сколь угодно длинную композицию элемента с модулем более ( или менее ) единицы, будет ли группа конечной?

[Xaositect]

Niclax в сообщении #202020 писал(а):

Xaositect
нормальная

Конкретнее
Какие 16 комлексных чисел эту группу будут составлять?

[Niclax]

Xaositect
Думаю, корни из 1.

[VAL]

Niclax писал(а):

Xaositect
Думаю, корни из 1.

Вот Вы и решили задачку.
Правда, с точностью до известного утверждения: конечная мультипликативная группа поля - циклическая.
А оно доказывается не так уж, чтобы сосвем просто.
Но зато доказательство можно найти во многих книжках по алгебре.

[Xaositect]

VAL в сообщении #202030 писал(а):

Правда, с точностью до известного утверждения: конечная мультипликативная группа поля - циклическая.

А зачем здесь это? Достаточно того, что для конечных групп $a^{|G|} = 1$

[Niclax]

А как из этого вытекает единственность подгруппы?

[Xaositect]

Niclax в сообщении #202042 писал(а):

А как из этого вытекает единственность подгруппы?

А самому подумать?
Надо доказать: Подгруппа из 16 элементов единственна.
Мы нашли одну подгруппу из 16 элементов - подгруппу корней из единицы 16-й степени $C_{16}$.
То есть надо доказать: любая подгруппа из 16 элементов - $C_{16}$
А если это немного переформулировать, то
Любой элемент подгруппы из 16 элементов - корень из единицы шестнадцатой степени.

[vlad239]

Между прочим, задачи с коллоквиума стоит решать самому. А то Зильберборд может обидеться.

(пояснение - эту задачу я лично выдавал человеку позавчера на коллоквиуме).

Влад.

[VAL]

Xaositect писал(а):

VAL в сообщении #202030 писал(а):

Правда, с точностью до известного утверждения: конечная мультипликативная группа поля - циклическая.

А зачем здесь это? Достаточно того, что для конечных групп $a^{|G|} = 1$

Я бы Вам ответил, почему этого недостаточно, но мне vlad239 не разрешает

[Xaositect]

VAL в сообщении #202195 писал(а):

$a^{|G|} = 1$

Я бы Вам ответил, почему этого недостаточно, но мне vlad239 не разрешает Smile

Ну давайте тогда подождем, и Вы мне объясните.
Просто я в своих рассуждениях ошибки не вижу.

[ewert]

Её и нет. Этого более чем достаточно для единственности, для существования же -- достаточно вполне элементарных сведений.