Вопрос по поводу открытости и замкнутости.

[Phoen1x]

Доброго времени суток. Изучая курс анализа Львовского, я понял что не понимаю смысла открытости и замкнутости множеств. Мне хотелось бы узнать, что же эти понятия вообще означают и как определяются.
Ибо скажем, в этом крусе, топология вводится сначало с помощью открытых множеств, потом с помощью замкнутых... это всё как-то сбивает с толку, начинает казаться, что нет никакой разницы и множество открыто или замкнуто только лишь потому, что мы его таковым определили. Заранее благодарен.

[Brukvalub]

Phoen1x в сообщении #201624 писал(а):

Ибо скажем, в этом крусе, топология вводится сначало с помощью открытых множеств, потом с помощью замкнутых

Замкнутые множества есть дополнения открытых во всем топ. пр-ве, и, наоборот, открытые мн-ва есть дополнения замкнутых, поэтому два этих подхода эквивалентны.

[Лиля]

Топология $T$ -это семейство подмножеств (называемых еще открытыми) основного множества $X$ -такая ($T$) что удовлетворяються следующие аксиомы
1 -пустое множество и основное множество $X$ -открытые множества (т.е. принадлежат $T$)
2 пересечение конечного количества открытых множеств -множество открытое
3 Обьеденение сколь угодно большого количества открытых множеств -есть открытое множетство

-закрытым множеством называеться как прально сказал Brukvalub дополения открытых множеств до основного множества

при этом множества могут быть и открытыми и закрытыми одновременно -например таким являеться пустое множество, как и вовсе быть не открытыми и не закрытыми одновременно

[ewert]

Лиля в сообщении #201649 писал(а):

фамилия подмножеств

Только всё-таки не фамилия и даже не отчество, а семейство.

[Лиля]

ewert в сообщении #201654 писал(а):

Только всё-таки не фамилия и даже не отчество, а семейство

спасиб:)

[Phoen1x]

Да, так-то оно так. Но все эти определения мне известны. Вопрос про топологии был для примера. Суть моего вопроса в том, чтобы мне объяснили, что такое открытое множество и чем оно отличается от замкнутого в общем случае... как-то так)
И вот с открытозамкнутыми множествами тоже хотелось бы прояснить ситуацыю =)

[ewert]

Phoen1x в сообщении #201676 писал(а):

, что такое открытое множество и чем оно отличается от замкнутого в общем случае... как-то так

В общей ситуации -- как-то так по определению, и никак иначе. В конкретных же приложениях -- замкнутое множество включает свою границу, открытое же -- нет.

[gris]

А вот если взять $\mathbb R$ с обычной топологией открытых интервалов?

Всё множество можно представить в виде счётного объединения открытых. И оно же содержит все свои предельные точки...Но его нельзя же считать замкнутым, так как его дополнение не является открытым.

[Xaositect]

Есть еще определение на основе оператора замыкания.
Оператор $Cl$ - топологический оператор замыкания, если
$X\subseteq Cl(X)$
$Cl(Cl(X)) = Cl(X)$
$Cl(X\cup Y) = Cl(X)\cup Cl(Y)$
$Cl(\varnothing) = \varnothing$

Тогда замкнутым называется множество, равное собственному замыканию.
Скажем, в $\mathbb{R}$ со стандартной топологией $Cl$ - это обычное замыкание, добавление всех предельных точек.

[Brukvalub]

gris в сообщении #201696 писал(а):

Но его нельзя же считать замкнутым, так как его дополнение не является открытым.

Вас обманули! Его дополнение - пустое множество, оно содержит все свои предельные точки. Поэтому дополнение - открыто!

[ASA]

gris писал(а):

в виде чётного объединения

[gris]

Пустое открыто, конечно, потому что является пересечением непересекающихся интервалов.
Но тогда и получается, что $\mathbb R$ и $\varnothing$ открытые и замкнутые одновременно?
И ещё - я не понял насчёт того, кто содержит свои предельные точки и поэтому открыто?

Ой... счётного, конечно. Хотя счётность и не нужна

[ewert]

Brukvalub в сообщении #201699 писал(а):

Поэтому дополнение - открыто!

И, кстати сказать, замкнуто.

[Phoen1x]

ewert
Вы говорите, что в общем случае нужно пользоваться определением. К несчастью, я не встречал конкретного определения для открытого множества. Поэтому может вы мне его сообщите?

Я вообще так понял, что именно заданная на множестве топология определяет открытытые множества. Но с таким же успехом топология может определить и замкнутые. В таком случае открытость и замкнутость множества зависит лишь от нашего выбора. Вот это мне пока не удаётся в полной мере осознать. Мне начинает казаться, что в общем случае ни открытость, ни замкнутость множества не содержат под собой какого либо смысла. Я не уверен, что всё правельно объяснил, но, надеюсь, суть моего непонимания понятна.

[gris]

Посмотрите внимательнее, какие требования предъявляются к открытым множествам, а какие к замкнутым, чтобы их система задавала топологию