что следует из теоремы Геделя

[ewert]

AD в сообщении #201459 писал(а):

А если теперь разрешить несчетные объединения таких расширяющихся систем множеств?

А если семейство несчетно, то как можно понимать то, что оно расширяется?...

По-моему, не нужно даже быть конструктивистом, чтобы счесть это паталогически неконструктивным.

[AD]

ewert в сообщении #201467 писал(а):

А если семейство несчетно, то как можно понимать то, что оно расширяется?...

В смысле $\forall \alpha,\beta\in A$ $E_\alpha\subseteq E_\beta\vee E_\beta\subseteq E_\alpha$.

[ewert]

Вот как раз это и есть патология. Поскольку такое утверждение, вообще говоря, совершенно непроверяемо. Ну разве что индекс семейства пробегает некоторое явно выписанное линейно упорядоченное множество.

[AD]

ewert в сообщении #201474 писал(а):

Поскольку такое утверждение, вообще говоря, совершенно непроверяемо. Ну разве что индекс семейства пробегает некоторое явно выписанное линейно упорядоченное множество.

Ну вот и не надо ругаться словом "патология". Задачка как раз и позволяет отсеять еще один комплект мечтаний про несчетную аддитивность - вот как раз такого сорта, когда мол "может если мы их упорядочим - то прокатит".

Вообще, я, конечно, был не прав, что сразу не уточнил.

Собственно, без континуум-гипотезы задача тоже решается в одну строчку, но ответ не такой исчерпывающий.

[epros]

Pi писал(а):

но всегда есть возможность построить более сильную систему аксиом в которой
1. Будет доказанно непротиворичивость меньшей системы аксиом.
2. Недоказуемое утверждение становится доказуемым.

Всегда есть возможность построить "более сильную" систему аксиом, в которой какая угодно изначально выбранная явная чушь будет доказана.

Pi писал(а):

Skipper в сообщении #201231 писал(а):

аксиомы плодить никак нельзя.

Можно, в этом то и состоит суть математики. Все что угодно можно объявить аксимой и если система не противоричива и полезна кому-нибудь, то она называется теорией.

Тут возможны два подхода:
1. Тот, кому система может быть "полезна", имеется в наличии. Естественно, он с радостью и без всякой критики воспримет Вашу аксиому. Ему же и отвечать в том случае, если в реальности аксиома не работает.
2. Вы закладываете аксиому "просто из интереса" узнать что получится. На все вопросы о "полезности" Вы отвечаете: "А вдруг когда-нибудь найдётся кто-нибудь, которому это понадобится?"

Я бы сказал, что первый подход - вполне продуктивный и в некотором смысле оправдывает "суть математики". А второй подход по-моему свидетельствует о том, что математик просто время зря убивает (может от нечего делать?).

[Droog_Andrey]

Nxx в сообщении #201465 писал(а):

А на какой херЪ такая задача нужна и какие у нее практические результаты?

Вот из-за таких людей и тормозится развитие фундаметальной науки.

Мотивом для исследований являются не только практические нужды; более того, почти всегда сначала находят, а потом применяют

[epros]

Droog_Andrey писал(а):

Мотивом для исследований являются не только практические нужды;

Это точно. Хорошим мотивом может быть также желание оную практику изменить.

Droog_Andrey писал(а):

более того, почти всегда сначала находят, а потом применяют

Ну конечно же. Более того, примеры того, когда сначала "применили", а потому уже "нашли", наверняка будут очень уж экзотическими.

Но всё это не означает, что заниматься исследованиями "чисто в своё удовольствие" в надежде на то, что "может быть когда-нибудь применят, а нет - так и наплевать", - это так уж хорошо.

[Droog_Andrey]

epros в сообщении #201530 писал(а):

заниматься исследованиями "чисто в своё удовольствие"

Если я против одной крайности, это ещё не значит, что я за другую

[Dialectic]

epros писал(а):

Но всё это не означает, что заниматься исследованиями "чисто в своё удовольствие" в надежде на то, что "может быть когда-нибудь применят, а нет - так и наплевать", - это так уж хорошо.

Почему не означает? Всё означает, но только за свой счёт...

[Pi]

мат-ламер в сообщении #201443 писал(а):

С другой стороны математика - это отражение нашей действительности, и всё должно проверяться в конце концов опытом.

Математика не есть отражение нашего опыта, вы ее путаете с физикой.

Nxx в сообщении #201465 писал(а):

Давно уже пора в математике отказываться от всех построений, не имеющих к реальности никакого отношения.

Нет надо сделать болешее, и отказаться от математики вообще. И вернуться к схоластики. Назначим вас папой Римским и будем считать истинным только то что вы скажете.

epros в сообщении #201508 писал(а):

Ему же и отвечать в том случае, если в реальности аксиома не работает.

Это уже вопрос к физике, там есть железное понятие (право ) применимости.

epros в сообщении #201508 писал(а):

что математик просто время зря убивает (может от нечего делать?)

Может и зря, но если денег много и время жизни ему не дорого, то кто его может заставить не делать этого. Правда серезных таких математиков нет - они всегда идут к пользе, а любителей полно - все Ферматисты относятся к этому случаю.

[epros]

Dialectic писал(а):

epros писал(а):

Но всё это не означает, что заниматься исследованиями "чисто в своё удовольствие" в надежде на то, что "может быть когда-нибудь применят, а нет - так и наплевать", - это так уж хорошо.

Почему не означает? Всё означает, но только за свой счёт...

За свой счёт - пожалуйста, можно любой ерундой заниматься. Но деньги-то всё равно на ветер...

Pi писал(а):

epros в сообщении #201508 писал(а):

Ему же и отвечать в том случае, если в реальности аксиома не работает.

Это уже вопрос к физике, там есть железное понятие (право ) применимости.

Ну почему-же обязательно к физике? Математические модели и в других науках имеют применение. Например, в экономике модели бывают весьма сложные.

Но вот разрабатывать модели без каких-то даже идей о том, как они могут быть применены - это, по-моему, довольно-таки странное занятие.

[Pi]

Побудительные мотивы что людей толкает на разработку теорий и что где да когда применять - это уже философия.

Вот пример со времен Евклида все пытались безуспешно доказать что есть только две параллельные прямые что не пересекаются. И применяли это ко всему что видели без зазрения, что так есть всегда. Но в 19 веке Лобачевский доказал что ее нельзя доказать, тем самым установив что это Аксиома, и ввел понятие Евклидовой геометрии - где это выполняется и не-Ег - геометрию Лобачевского - с другой акиомой пралельности. Потом появился Риман. И сейчас для старых теорем мы должны говорить что они выполнябтся в Ег.

Вот вам пример расширения Аксиомами и пример применимости в Физике, на которой построенна вся теория относительности.

[Nxx]

Droog_Andrey писал(а):

Nxx в сообщении #201465 писал(а):

А на какой херЪ такая задача нужна и какие у нее практические результаты?

Вот из-за таких людей и тормозится развитие фундаметальной науки.

Мотивом для исследований являются не только практические нужды; более того, почти всегда сначала находят, а потом применяют

В том-то и дело, что описанные выше вещи принципиально применить невозможно, и это доказано Ну это как рассуждать о чертиках на кончике иглы.

[Droog_Andrey]

Nxx в сообщении #201602 писал(а):

принципиально применить невозможно, и это доказано

Для меня очевидно обратное

[Someone]

Nxx в сообщении #201465 писал(а):

А никак. Давно уже пора в математике отказываться от всех построений, не имеющих к реальности никакого отношения.

А как определить, какие построения "имеют отношение к реальности", а какие - "не имеют отношения к реальности"? Особенно если они все взаимосвязаны. Да и математика ведь вообще с реальными объектами дела не имеет, только с логическими конструкциями.

Nxx в сообщении #201602 писал(а):

В том-то и дело, что описанные выше вещи принципиально применить невозможно, и это доказано

Предъявите доказательство.

AD в сообщении #201507 писал(а):

Собственно, без континуум-гипотезы задача тоже решается в одну строчку, но ответ не такой исчерпывающий.

Аксиома Мартина, например, даёт тот же результат, что и континуум-гипотеза: объединение менее чем континуума множеств меры нуль даёт множество меры нуль.