Помогите доказать тождество для грассмановой алгебры

[OlegMN]

$w_{ij}(x^j)w_{mn}(x^m)(x^n)=0$
где $w_{ij}$ - анисимметичная матрица

[OlegMN]

$w_{ij}x^jw_{mn}x^mx^n=0$

[OlegMN]

Ну, хотя бы в 3-мерном случае.

[Руст]

OlegMN писал(а):

$w_{ij}x^jw_{mn}x^mx^n=0$

Естественно здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам (иначе равенство не выполняется). Это выражение является произведением двух выражений, второе: $w=w_{mn}x^mx^n=-w{nm}x^nx^m=-w$. Поэтому при характеристике основного поля отличным от двух из w=-w вытекает w=0. Произведение с 0 дает 0.

[OlegMN]

Конечно же, куда ж без суммирования по повторяющимся индексам. Только в грассановой алгебре произведение антикоммутативное, поэтому $w_{mn}x^mx^n=w_{nm}x^nx^m$ не равно 0
Можете проверить, для i=1 самое первое выражение дает 0.

Здесь, похоже, нужно воспользоваться аналогами теорем линейной алгебры, только для грассмновой алгебры. Или что-то другое...

[Аурелиано Буэндиа]

OlegMN писал(а):

$w_{ij}x^jw_{mn}x^m x^n=0$
где $w_{ij}$ - антисимметичная матрица

В общем случае, это верно только для 2-мерной грассмановой алгебры.

[OlegMN]

да... проверил для i=1 и всё. Спасибо, а то я б ещё долго мог так...
Просто один человек, знающий больше, чем я, уверял меня, что тождество верно и даже пытался доказывать.