Раскраска квадрата

[pakandrew]

Клетки квадрата $7\times7$ покрашены в $k$ цветов.В каждой строке и в каждом столбце встречаются не более $3$ различных цветов.
а)$k=7$.Д-те что, какой-то цвет встречается в не менее чем $3$ строках и не менее чем в $3$ столбцах.
б)для $k=8$ привести пример раскраски так что,вышеуказанное свойство не сохраняется.

[Дима Тишков]

Что-то просто . Для какого класса задачка?

[pakandrew]

Задача предназначалась для 9-го класса.

[Дима Тишков]

а) 3 раза применить принцип Дирихле.
б) Например замостить прямоугольниками 2\times 3.

[pakandrew]

Недавно заметил на mathlinkse задачку про квадрат 5*5.Сам не смог решить,предлагаю вам порешать
Дан квадрат $5\times5$ покрашенный в белый цвет.Мы можем выбрать любой квадрат $2\times2$ или $3\times3$ и перекрасить его клетки.У нас всего $2$ цвета :черный и белый.
а)Д-те что после нескольких операции мы не сможем получить квадрат покрашенный в черный цвет.
б)После нескольких операции у нас осталось всего 1 белая клетка.Найти её местоположение.

[Дима Тишков]

Недавно вспомнил про эту задачу и решил ее. Стыдно, что не решил сразу .
а) Думаю, очевидно, что, если бы решение было, квадраты $3\times3$ перекрашивались бы нечетное число раз. Теперь рассмотрим, например, клетки 1 и 4 вертикали. Получим, что такие квадраты должны были бы перекрашиваться четное число раз .
б) Используем ту же конструкцию. В силу соображений симметрии можно считать, что белая клетка не попала в число 10 рассматриваемых. Вывод, что квадраты $3\times3$ перекрашивались четное число раз, сохраняется. Дальше все очевидно.