что следует из теоремы Геделя

[Skipper]

"Для любой непротиворечивой системы аксиом и правил вывода - существует такое утверждение A, что ни само A , ни "отрицание A" - недоказуемы".

Это упрощенная формулировка теоремы Геделя. Означает, что в математике должны существовать истинные утверждения, но их никогда не докажут. Интересный вопрос - а САМА НЕДОКАЗУЕМОСТЬ утверждения проверяется (доказывается) ли хотя бы для некоторых таких утверждений A ?

Т.е. существуют ли известные науке утверждения A, которые нельзя ни доказать ни опровергнуть, и то, что это НЕЛЬЗЯ - доказано? Такое доказательство будет весьма полезным, чтобы народ тысячелетиями не занимался пустой тратой времени - все равно справедливость утверждения A установлена не будет.

[Xaositect]

Да.
Континуум-гипотеза, например.

[Pi]

Теоремы Геделя утверждают то что Всякая непримитивная система Аксиом не полна и доказать ее непротиворичивость в рамках этой системы невозможно , но всегда есть возможность построить более сильную систему аксиом в которой
1. Будет доказанно непротиворичивость меньшей системы аксиом.
2. Недоказуемое утверждение становится доказуемым.

Xaositect в сообщении #201210 писал(а):

Континуум-гипотеза, например.

Континуум-гипотеза недоказуемма в рамках аксиом ZFC. Неизвестно про другие системы аксиом. Но можно заменить Континуум-аксиомой аксиому выбора и тогда будет построенна более сильная система аксиом в которой аксиома выбора превращается в теорему выбора.

[Skipper]

Pi.
Проще говоря, любое утверждение мы все таки рано или поздно можем доказать, выбрав более сильную систему аксиом?
Или существуют утверждения, которые вообще никогда не докажешь?

[Dandan]

Skipper писал(а):

Pi.
Проще говоря, любое утверждение мы все таки рано или поздно можем доказать, выбрав более сильную систему аксиом?
Или существуют утверждения, которые вообще никогда не докажешь?

Любое утверждение, для которого мы доказали независимость от системы аксиом, мы можем просто объявить как новую аксиому и в итоге получить новую непротиворечивую более сильную систему аксиом. Пример - континуум-гипотеза и ZFC.

[Skipper]

А с какой стати мы имеем право объявлять такое утверждение, как новую аксиому? Если мы не знаем, истинно оно или ложно. Это оправданно еще для очевидных вещей типа "две плоскости пересекаются по прямой" - аксиома геометрии. Но неочевидные аксиомы плодить никак нельзя.

[Xaositect]

Skipper писал(а):

А с какой стати мы имеем право объявлять такое утверждение, как новую аксиому? Если мы не знаем, истинно оно или ложно. Это оправданно еще для очевидных вещей типа "две плоскости пересекаются по прямой" - аксиома геометрии. Но неочевидные аксиомы плодить никак нельзя.

Очевидность - вещь субъективная, но в общем, Вы правы.
Обычно рассматривают некоторую общепринятую, основную систему аксиом(ZF или ZFC в случае теории множеств, PA для арифметики) и доказывают независимость утверждений от нее, рассматривают, что получится, если добавить к ней в качестве аксиом эти независимые утверждения.

[Pi]

Skipper в сообщении #201231 писал(а):

аксиомы плодить никак нельзя.

Можно, в этом то и состоит суть математики. Все что угодно можно объявить аксимой и если система не противоричива и полезна кому-нибудь, то она называется теорией. Так созданна вся математика.

[AD]

Да, есть такое дело. Обычно школьникам объясняют, что "аксиома - это что-то такое, что мы верим, потому что это есть очевидная истина". А на самом деле никто нас не спрашивает, верим мы в это, или нет. Нас, математиков, лишь спрашивают: "если бы это было верно, то что еще было бы верно?" ...

[naiv1]

Pi в сообщении #201260 писал(а):

Все что угодно можно объявить аксимой и если система не противоричива и полезна кому-нибудь, то она называется теорией.

А что, разве полезность [теории] является необходимым условием того, чтобы непротиворечивую систему называть теорией?

И как полезность теории выразить формально - математически?

[Dialectic]

Skipper писал(а):

Pi.
Проще говоря, любое утверждение мы все таки рано или поздно можем доказать, выбрав более сильную систему аксиом?
Или существуют утверждения, которые вообще никогда не докажешь?

Мы можем доказывать лишь то, что обнаружили как недоказуемое в той или иной системе.
Фокус состоит в том, что множество утверждений системы которые нельзя ни доказать ни опровергнуть- обнаружить никоим образом нельзя. То есть невозможно сказать, что вот, мол вам такая, такая и такая формула не доказуемая в нашей системе, и кроме этих формул все остальные уж точно доказуемы. Иными словами: множество формул, которые невозможно ни доказать ни опровергнуть - суть неперечислимое множество. То есть не существует алгоритма, который бы указал (перечислил), пусть даже в дурном порядке нам все эти формулы.

[мат-ламер]

Возник вопрос о единстве математики. Допустим, нашлись специалисты, сомневающиеся в справедливости гипотезы континуума (мол неконструктивно и т.д.). Допустим они станут доказывать свои теоремы в предпоожении более слабых аксиом (Например, аксиомы Мартина). Другая группа специалистов начнёт доказывать свои теоремы в предположении справедливости гипотезы континуума. Вроде в общей топологии такое встречается, но тут я не специалист. В итоге мы получаем две равнозначные ветви математики, и вопрос выбора между ними - это вопрос веры, а не науки. Допустим дальше приходит специалист из смежной области, например, функционального анализа. Ему надо воспользоваться теоремой топологии. Одна группа специалистов предлагает ему одну теорему, а другая группа - другую. Как ему быть? С другой стороны математика - это отражение нашей действительности, и всё должно проверяться в конце концов опытом. Но как построить опыт, подтверждающий справедливость континуум-гипотезы?

[AD]

мат-ламер в сообщении #201443 писал(а):

Вроде в общей топологии такое встречается, но тут я не специалист.

Теория меры тоже любит такими штуками заниматься.

мат-ламер в сообщении #201443 писал(а):

Допустим дальше приходит специалист из смежной области, например, функционального анализа. Ему надо воспользоваться теоремой топологии. Одна группа специалистов предлагает ему одну теорему, а другая группа - другую. Как ему быть?

Так и говорить: "Я сейчас воспользуюсь такой-то теоремой, которая выводится из континуум-гипотезы, поэтому и мой результат будет доказан только в предположении континуум-гипотезы. Верен ли он без нее - вопрос тонкий и требующий дополнительных разбирательств. "
_________________

Вот, кстати, я уже как-то тут приводил один бойанчик из теории меры. Берем меру Лебега на $[0,1]$. Как известно, если $\mu E_n=0$, $n\in\mathbb{N}$, $E_n\subset E_{n+1}$, то $\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=0$. А если теперь разрешить несчетные объединения таких расширяющихся систем множеств? Можно ли получить из множеств нулевой меры множество, не являющееся множеством меры нуль?

В предположении континуум-гипотезы всё легко: упорядочиваем отрезок $[0,1]$ как наименьший несчетный трансфинит, его начальные отрезки счетны (и, следовательно, имеют меру нуль) и расширяются до всего $[0,1]$.

А без континуум-гипотезы что можно сказать?

[Nxx]

Цитата:

Но как построить опыт, подтверждающий справедливость континуум-гипотезы?

А никак. Давно уже пора в математике отказываться от всех построений, не имеющих к реальности никакого отношения.

Добавлено спустя 1 минуту 52 секунды:

AD писал(а):

Вот, кстати, я уже как-то тут приводил один бойанчик из теории меры. Берем меру Лебега на $[0,1]$. Как известно, если $\mu E_n=0$, $n\in\mathbb{N}$, $E_n\subset E_{n+1}$, то $\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=0$. А если теперь разрешить несчетные объединения таких расширяющихся систем множеств? Можно ли получить из множеств нулевой меры множество, не являющееся множеством меры нуль?

В предположении континуум-гипотезы всё легко: упорядочиваем отрезок $[0,1]$ как наименьший несчетный трансфинит, его начальные отрезки счетны (и, следовательно, имеют меру нуль) и расширяются до всего $[0,1]$.

А без континуум-гипотезы что можно сказать?

А на какой херЪ такая задача нужна и какие у нее практические результаты?

[AD]

Nxx в сообщении #201465 писал(а):

А на какой херЪ такая задача нужна и какие у нее практические результаты?

Ни на какой. Просто прикольная задача. Развивает логическое мышление и воображение.