Полярное разложение (матрицы)

[aush]

Собственно, вопрос в заголовке темы.

Открыл Гантмахера "Теория матриц". В теории понял, как делать на практике - нет

Был бы благодарен за ссылку на понятное изложение, желательно, с примером.

Заранее спасибо.

P.S. Кстати, еще такой вопрос, вдруг кто знает - в Wolfram'е не нашел полярного разложения... Куча других есть, а его нет, хотя, вроде как, достаточно стандартное. Или оно как-то хитро там запрятано?

[нг]

PolarDecomposition[] в пакете LinearAlgebra`MatrixManipulation`

[aush]

Спасибо. А по теории кто-нибудь подскажет?

[Freude]

Думаю поступать надо по аналогии с комплексными числами, когда ищется их аргумент и абсолютное значение.

Декомпозиция матрицы $A=UP$

$P=\sqrt {A*A}$

Матрица $P$ - что-то вроде абсолютного значения - всегда положительная эрмитова матрица.

$U=AP^{-1}$


http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_decomposition

[amishaa]

Почти так.

Только $P=\sqrt{A^*\cdot A}$

[ewert]

Freude в сообщении #91401 писал(а):

- всегда положительная эрмитова матрица.

Неотрицательная. Это существенно для построения.

[Полосин]

Ищем разложение $A=BU$, где $B=B^*\ge0$, $U^*=U^{-1}$. Ясно, что $B=\sqrt{AA^*}$. Построим $f$ - ортонормированный базис (ОНБ) из собственных векторов оператора $B$, полагая $Bf_k=p_k^2f_k, p_k>0, k=1,...,r$, и $Bf_k=0, k=r+1,...,n$ $(r=rgA=rgA^*=rgAA^*=rgA^*A)$. Отметим, что $B$ определяется однозначно, хотя ОНБ $f$ - нет. Построим также векторы $e_k=p_k^{-1}A^*f_k, k=1,...,r$, и дополним их до ОНБ всего пространства векторами $e_{r+1},...,e_n$ (базисы $e$ и $f$ называются сингулярной парой базисов, а $p_k$ - сингулярными числами). Тогда оператор $U$ определяется по правилу $Ue_k=f_k,k=1,...,n$. Таким образом, при $r<n$ оператор $U$ определяется неоднозначно, и "мера" этой неоднозначности, в известной степени, - произвол в выборе векторов $e_{r+1},...,e_n$, составляющих ОНБ подпространства $kerA$.