Норма первообразной

[Gortaur]

Допустим, мы имеем пространство непрерывных на [0,1] функций.
Рассмотрим 2 нормы:
1.$||f|| = \sup\limits_{x\in [0,1]}{|f(x)|}$;
2.$||f|| = \sqrt{\int\limits_0^1{f^2(x)}{dx}}$

Пусть $I[f]=g$ действует так, что: $g(x) = \int\limits_0^x{f(t)}{dt}$. Требуется найти норму оператора $I$, порожденную нормами 1 и 2.

Для первой нормы это несложно - она равна 1.
Для второй не знаю, как бы решить.

Напомню, что $||I||_c := \sup\limits_f \frac{||I[f]||}{||f||}$.

[Brukvalub]

Gortaur в сообщении #200895 писал(а):

Для второй не знаю, как бы решить.

Рассмотрите последовательность непрерывных функций, каждая из которых на участке длины "почти"

\[\frac{1}{n}\]

равна n, а в остальных точках - равна 0.

[Gortaur]

Не совсем понимаю, зачем. Получается, что:
$||I[f_n]|| \approx \sqrt{\frac{3n-2}{3n}}$, а $||f_n|| \approx \sqrt{n}$. Получается, что их отношение бесконечно мало.

[Brukvalub]

Прошу прощения, у меня был глюк с перепутыванием нормы....

[Dan B-Yallay]

$$ \begin{align} \Big\|I(f)\Big\|^2_{L^2(0,1)}=\displaystyle\int_0^1\left(\int_0^x f dt\right)^2dx \le \displaystyle\int_0^1\left(\int_0^x |f|dt\right)^2dx&\le \displaystyle\int_0^1\left(\int_0^1 |f|dt\right)^2dx&\le \displaystyle\int_0^1dx\left(\int_0^1| f|^2dt\right)=||f||_{L^2(0,1)}^2 \end{align}$$

Поэтому

$$||I||_c\le 1 \\$$

на $f(x)\equiv1$ достигается супремум.

[RIP]

На моей памяти эта задача здесь уже третий раз появляется. Решение - см. http://dxdy.ru/topic8129.html?highlight ... 5%F0%E5%ED и http://dxdy.ru/topic14404-all.html (там были другие обозначения: $Ax$ вместо $I[f]$).

[Cave]

У меня получилось ${\frac 2 {\pi}$.
Идея в следующем: найдём $I^*$. Оператор $I$ компактен (проверьте), поэтому компактен и оператор $A = II^*$. Он является положительно определенным и его собственные значения равны квадратам $s$-чисел оператора $I$. Из известных свойств $s$-чисел $|s_1| = ||I||$, поэтому $||I|| = \sqrt{\lambda_1}$, где $(\lambda_k)~-$ последовательность занумерованных по убыванию собственных чисел оператора $A$ (в силу теоремы Гильберта-Шмидта эта последовательность существует: спектр $A$ состоит из дискретного ограниченного множества, являющегося точечным спектром, и, возможно, точки 0). Осталось найти $\lambda_1$.
Для этого составляем уравнение на собственную функцию (уравнение будет интегральным), приводим его к дифференциальному с некоторыми граничными условиями, решаем и получаем набор $(\lambda_k)$. У меня получилось $\lambda_k = \frac 1 {(\frac {\pi} 2 + \pi k)^2}$.
--
М-м, меня опередили. Ладно, оставлю пост.
Только добавлю, что забыл сказать, что нужно рассмотреть $L_2[0;1]$, ибо оно гильбертово со скалярным произведением, соответствующим норме, а норма на его всюду плотном подмножестве $C[0;1]$ равна норме на всем пространстве.

[Gortaur]

Спасибо за помощь, словом получается что для обеих норм на отрезке [a,b] норма оператора будет $b-a$ и достигается она на константе?

[RIP]

Gortaur в сообщении #201065 писал(а):

получается что для обеих норм на отрезке [a,b] норма оператора будет $b-a$ и достигается она на константе?

Нет.

[Gortaur]

Таким образом, получается противоречие в ответах. Вообще при решении методами ВИМО у меня тоже получилось, что экстремум достигается на тригонометрических функциях.

[RIP]

Просто ответ Dan B-Yallay неверный.

[ewert]

Cave в сообщении #201018 писал(а):

Для этого составляем уравнение на собственную функцию (уравнение будет интегральным), приводим его к дифференциальному с некоторыми граничными условиями,

Только лучше с самого начала перейти от $I$ к $I^{-1}$. Этот оператор -- дифференциальный, сопряжённый к нему легко выписывается, и их произведением будет минус двукратное дифференцирование с соотв. граничными условиями.

[Dan B-Yallay]

RIP писал(а):

Просто ответ Dan B-Yallay неверный.

Да, он неверен в той части где "супремум на константе", прошу извинения.