2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Норма первообразной
Сообщение01.04.2009, 15:07 


26/12/08
1813
Лейден
Допустим, мы имеем пространство непрерывных на [0,1] функций.
Рассмотрим 2 нормы:
1.$||f|| = \sup\limits_{x\in [0,1]}{|f(x)|}$;
2.$||f|| = \sqrt{\int\limits_0^1{f^2(x)}{dx}}$

Пусть $I[f]=g$ действует так, что: $g(x) = \int\limits_0^x{f(t)}{dt}$. Требуется найти норму оператора $I$, порожденную нормами 1 и 2.

Для первой нормы это несложно - она равна 1.
Для второй не знаю, как бы решить.

Напомню, что $||I||_c := \sup\limits_f \frac{||I[f]||}{||f||}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2009, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Gortaur в сообщении #200895 писал(а):
Для второй не знаю, как бы решить.
Рассмотрите последовательность непрерывных функций, каждая из которых на участке длины "почти" \[\frac{1}{n}\] равна n, а в остальных точках - равна 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2009, 16:39 


26/12/08
1813
Лейден
Не совсем понимаю, зачем. Получается, что:
$||I[f_n]|| \approx \sqrt{\frac{3n-2}{3n}}$, а $||f_n|| \approx \sqrt{n}$. Получается, что их отношение бесконечно мало.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2009, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Прошу прощения, у меня был глюк с перепутыванием нормы....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2009, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
$$
\begin{align}
\Big\|I(f)\Big\|^2_{L^2(0,1)}=\displaystyle\int_0^1\left(\int_0^x f dt\right)^2dx \le \displaystyle\int_0^1\left(\int_0^x |f|dt\right)^2dx&\le \displaystyle\int_0^1\left(\int_0^1 |f|dt\right)^2dx&\le \displaystyle\int_0^1dx\left(\int_0^1| f|^2dt\right)=||f||_{L^2(0,1)}^2
\end{align}$$

Поэтому
$$||I||_c\le 1 \\$$

на $f(x)\equiv1$ достигается супремум.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2009, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
На моей памяти эта задача здесь уже третий раз появляется. Решение - см. http://dxdy.ru/topic8129.html?highlight ... 5%F0%E5%ED и http://dxdy.ru/topic14404-all.html (там были другие обозначения: $Ax$ вместо $I[f]$).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2009, 22:04 


02/07/08
322
У меня получилось ${\frac 2 {\pi}$.
Идея в следующем: найдём $I^*$. Оператор $I$ компактен (проверьте), поэтому компактен и оператор $A = II^*$. Он является положительно определенным и его собственные значения равны квадратам $s$-чисел оператора $I$. Из известных свойств $s$-чисел $|s_1| = ||I||$, поэтому $||I|| = \sqrt{\lambda_1}$, где $(\lambda_k)~-$ последовательность занумерованных по убыванию собственных чисел оператора $A$ (в силу теоремы Гильберта-Шмидта эта последовательность существует: спектр $A$ состоит из дискретного ограниченного множества, являющегося точечным спектром, и, возможно, точки 0). Осталось найти $\lambda_1$.
Для этого составляем уравнение на собственную функцию (уравнение будет интегральным), приводим его к дифференциальному с некоторыми граничными условиями, решаем и получаем набор $(\lambda_k)$. У меня получилось $\lambda_k = \frac 1 {(\frac {\pi} 2 + \pi k)^2}$.
--
М-м, меня опередили. Ладно, оставлю пост.
Только добавлю, что забыл сказать, что нужно рассмотреть $L_2[0;1]$, ибо оно гильбертово со скалярным произведением, соответствующим норме, а норма на его всюду плотном подмножестве $C[0;1]$ равна норме на всем пространстве.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2009, 08:10 


26/12/08
1813
Лейден
Спасибо за помощь, словом получается что для обеих норм на отрезке [a,b] норма оператора будет $b-a$ и достигается она на константе?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2009, 08:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Gortaur в сообщении #201065 писал(а):
получается что для обеих норм на отрезке [a,b] норма оператора будет $b-a$ и достигается она на константе?

Нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2009, 09:11 


26/12/08
1813
Лейден
Таким образом, получается противоречие в ответах. Вообще при решении методами ВИМО у меня тоже получилось, что экстремум достигается на тригонометрических функциях.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2009, 09:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Просто ответ Dan B-Yallay неверный.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2009, 09:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Cave в сообщении #201018 писал(а):
Для этого составляем уравнение на собственную функцию (уравнение будет интегральным), приводим его к дифференциальному с некоторыми граничными условиями,

Только лучше с самого начала перейти от $I$ к $I^{-1}$. Этот оператор -- дифференциальный, сопряжённый к нему легко выписывается, и их произведением будет минус двукратное дифференцирование с соотв. граничными условиями.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2009, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
RIP писал(а):
Просто ответ Dan B-Yallay неверный.



Да, он неверен в той части где "супремум на константе", прошу извинения. :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group