Помогите разобраться с интегрированием (от сложного основани

[nechaeff]

вот такой:

$$\int\limits_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^\frac{-1}{\sqrt{2}}\sqrt{(1-x^2)}d(x)$$

в голову пришли замены t=\sqrt{(1-x^2) илиt=(1-x^2), но это не верно
Решение через тригонометрию.

[ewert]

Естественно не выйдет. Снова стандартная ситуация -- и снова стандартная замена $x=\sin t$. Вы что, из прынцыпу гордо игнорируете то, что в вас вдалбливают?...

[nechaeff]

to ewert "не ругайте пианиста, он играет как умеет" (с)
в меня ничего не вдалбливали и от математике я далек, просто сейчас надо поступить и сдать экзамен по матану

спасибо, за замену

[nechaeff]

Не до конца уловил "универсальную тригонометрическую подстановку"
тангенс половинного угла равен x или \cos x
для такого примера

$$\int \frac {1}{1+cosx} dx$$

[ИСН]

Верите ли: ни тому, ни другому, а $\tg {x\over 2}$

[nechaeff]

ИСН
разобрался

[nechaeff]

Вот такой простенький интеграл:

$$\int \frac {x^2}{1+x^2} dx$$

сделал замену x=\arctg x

получил

$$\int \arctg^2 x d(arctg x)=\frac {arctg^3 x}{3}$$

но в ответе стоит x-\arctg x, что я не верно решил?

[RIP]

nechaeff в сообщении #200644 писал(а):

сделал замену x=\arctg x

Так нельзя. Если уж делаете замену, то надо вводить новую букву.
В данном примере можно числитель записать в виде $(x^2+1)-1$.

Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду:

И не забывайте окружать формулы знаками американского рубля.

[nechaeff]

to RIP спасибо!

[nechaeff]

еще один интеграл:

$$\int \frac {dx}{({x^2+1})^{\frac 32}}$$

я сделал так:

$$\int \frac {d(x)}{x^2\sqrt{x^2+1}} + \int \frac {d(x)}{\sqrt{x^2+1}}$$

соответственно мой ответ:

$$-4 \sqrt {1+\frac 1{x^2}} +\ln |x+ \sqrt {x^2+1}|$$

но наверно можно как-то проще решить, ответ в решении баз логарифмов и очень простой. Какой еще есть способ/подстановка для этого примера?

[Someone]

Неправильно. Вы фактически придумали формулу $\frac 1{a+b}=\frac 1a+\frac 1b$, а такая формула неверна.

[nechaeff]

%№?, и правда(((( косяк(

в каком направлении искать?

[Imperator]

Сделайте подстановку Абеля:
$t=((x^{2}+1)^{\frac{1}{2}})'$.

[Someone]

Хорошо работает в интегралах

$$\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n+\frac 12}}$$

(при $a\neq 0$, $b^2\neq 4ac$ и целом $n\geqslant 1$) подстановка Абеля

$$t=\left(\sqrt{ax^2+bx+c}\right)'=\frac{ax+\frac b2}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\text{.}$$

Отсюда выражаем

$$ax^2+bx+c=\frac{b^2-4ac}{4(t^2-a)}\text{,}$$

$$dt=\frac{-(b^2-4ac)dx}{4(ax^2+bx+c)^{\frac 32}}$$

(обязательно подробно проделайте эти вычисления для Вашего случая).

P.S. О, пока писал, подстановку Абеля уже предложили.

[nechaeff]

Imperator, Someone спасибо!