Пусть

--- банахово пространство,

--- нормированное. Линейный оператор

непрерывен, причем множество

нетощее (напомню, что множество называется тощим, если оно является подмножеством счетного объединения нигде не плотных множеств. В свою очередь, множество нигде не плотно, если внутренность его замыкания пуста).
1)У меня получается, что образ оператора

всюду плотен в
2)Более того, у меня получилось доказать(это сложнее, чем предыдущее), что обязательно

.
Верно ли это (особенно смущает второе)?
Если неверно, то приведу доказательства и спрошу, где ошибка.
Вспомнил, что где-то вместо "нетощее" говорят "множество второй категории" (совершенно лишенное наглядности название, кстати).
Меня вот почему еще смущает второе утверждение. Дело в том, что тогда пространство

обязано быть банаховым.