Оператор с нетощим образом

[MaхVT]

Пусть $X$ --- банахово пространство, $Y$ --- нормированное. Линейный оператор $T\colon X\to Y$ непрерывен, причем множество $\mathrm{im}\,T$ нетощее (напомню, что множество называется тощим, если оно является подмножеством счетного объединения нигде не плотных множеств. В свою очередь, множество нигде не плотно, если внутренность его замыкания пуста).

1)У меня получается, что образ оператора $T$ всюду плотен в $Y.$
2)Более того, у меня получилось доказать(это сложнее, чем предыдущее), что обязательно $\mathrm{im}\,T=Y$.

Верно ли это (особенно смущает второе)?

Если неверно, то приведу доказательства и спрошу, где ошибка.

Вспомнил, что где-то вместо "нетощее" говорят "множество второй категории" (совершенно лишенное наглядности название, кстати).

Меня вот почему еще смущает второе утверждение. Дело в том, что тогда пространство $Y$ обязано быть банаховым.

[Хорхе]

У меня тоже получилось, что первое правильно. Насчет второго совсем не уверен. Хотелось бы послушать.

[ASA]

Хорхе писал(а):

У меня тоже получилось, что первое правильно. Насчет второго пока не уверен.

Я и насчет первого не уверен. Пусть $X=Y=C[0,1]$, $Tx(t)=\int_0^t x(\tau)d\tau$. $\mathrm{im} T$ есть множество непрерывно дифференцируемых функций $y(\cdot)$ таких, что $y(0)=0$. Очевидно, что $\mathrm{im} T$ не является всюду плотным в $C[0,1]$. Это из-за условия $y(0)=0$. Доказательства того, что $\mathrm{im} T$ нетощее, у меня нет, но верится, что это так. Последнее кто-нибудь подтвердит/опровергнет?

[MaхVT]

Мне не очень охота писать доказательство по той причине, что я использую терминологию и факты из учебника С.С. Кутателадзе "Основы функционального анализа". Я так понимаю, что большинство находящихся здесь учили функан по Колмогорову, Фомину.

К примеру, первое утверждение я доказываю так.
Так как $\mathrm{im}\,T$ нетощее, то $\mathrm{int}\,\mathrm{cl}\,\mathrm{im}\,T\neq\varnothing.$ Но в нормированном пространстве $\mathrm{int}\,\mathrm{cl}\,\mathrm{im}\,T\subset\mathrm{core}\,\mathrm{cl}\,\mathrm{im}\,T.$
Таким образом, $\mathrm{core}\,\mathrm{cl}\,\mathrm{im}\,T\neq\varnothing.$ Но $\mathrm{cl}\,\mathrm{im}\,T$ --- это подпространство в $Y$. Значит, $\mathrm{cl}\,\mathrm{im}\,T=Y$.

Поясню, что $\mathrm{core}\,U$ -- это алгебраическая внутренность множества $U$, то есть такие $u\in U,$ что множество $U-u$ является поглащающим (множество $A$ поглащающее в векторном пространстве $X$, если $X=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}nA$). Несложно понять, что алгебраическая внутренность подпространства либо пуста (если оно не $X$), либо оно само (если оно всё $X$). Ну и включение $\mathrm{int}\,U\subset\mathrm{core}\,U$ тоже несложно доказать.

Ну, то есть я нигде не исхожу просто из определений.

[RIP]

ASA писал(а):

Хорхе писал(а):

У меня тоже получилось, что первое правильно. Насчет второго пока не уверен.

Я и насчет первого не уверен. Пусть $X=Y=C[0,1]$, $Tx(t)=\int_0^t x(\tau)d\tau$. $\mathrm{im} T$ есть множество непрерывно дифференцируемых функций $y(\cdot)$ таких, что $y(0)=0$. Очевидно, что $\mathrm{im} T$ не является всюду плотным в $C[0,1]$. Это из-за условия $y(0)=0$. Доказательства того, что $\mathrm{im} T$ нетощее, у меня нет, но верится, что это так. Последнее кто-нибудь подтвердит/опровергнет?

Множество непрерывных функций, имеющих хотя бы в одной точке конечную производную, тощее.

[ASA]

RIP писал(а):

ASA писал(а):

$\mathrm{im} T$ есть множество непрерывно дифференцируемых функций $y(\cdot)$ таких, что $y(0)=0$.

Множество непрерывных функций, имеющих хотя бы в одной точке конечную производную, тощее.

Да, пожалуй. Здесь и одного условия $y(0)=0$ достаточно, чтобы $\mathrm{im} T$ было нигде не плотным, т.е. имело пустую внутренность замыкания. Свой пример снимаю.

[RIP]

Блин, точно.
Всё-таки иногда образование бывает во вред: простейшие вещи делаются через одно место.