Тригонометрия с параметром.

[fraktal]

$$\sin (a \cos x) = \cos (a \sin x)$$

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно $8$ корней, принадлежащих интервалу $(\pi; 3\pi]$?

[Jnrty]

Jnrty:

fraktal, обратите внимание на надпись наверху страницы, сразу над названием темы, и не удивляйтесь, что тема оказалась в "Карантине". Кроме того, прочтите темы "!!!=ВАЖНО=!!! Тематика и правила данного раздела" и "Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться".
Правила записи формул можно найти в темах "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [math]." Обязательно запишите все свои формулы как положено. Покажите, как Вы пытались решить задачу и какие возникли проблемы.
Когда исправите, напишите об этом в теме "Сообщение в карантине исправлено". Кто-нибудь из модераторов перенесёт Вашу тему в раздел "Помогите решить / разобраться (М)".

[Jnrty]

Jnrty:

Возвращаю.

Но попыток самостоятельного решения так и не вижу.

[gris]

Я бы вначале обратил внимание на особенности функций: чётность, периодичность, область значений. И для простоты рассмотрел бы интервал $(-\pi;\pi)$

[ewert]

fraktal писал(а):

$$\sin (a \cos x) = \cos (a \sin x)$$

Превратите слева внешний синус в косинус по формуле приведения и снимите внешние косинусы. Получите две серии уравнений с целочисленным параметром $k$ вида

$$\cos x\pm\sin x=<\text{нечто, зависящее от }a \text{ и от }k}>.$$

При каждой фиксированной паре $a$, $k$ эти два уравнения дадут на периоде (в принципе) или четыре решения, или ни одного. Следует отобрать те значения $a$, при которых с точки зрения правой части разрешены ровно два значения $k$. Ну и ещё не забыть отбраковать те исключительные значения $a$, при которых корни для $\cos x+\sin x$ и для $\cos x-\sin x$ склеиваются.

[fraktal]

Цитата:

Получите две серии уравнений с целочисленным параметром $k$

Hе совсем понятно, откуда берется $k$.

[Someone]

fraktal в сообщении #200339 писал(а):

Hе совсем понятно, откуда берется $k$

А Вы вообще тригонометрические уравнения когда-нибудь решали? Например, какое будет решение уравнения $\sin x=\cos x$?

[fraktal]

Someone писал(а):

Например, какое будет решение уравнения $\sin x=\cos x$?

$x=\frac \pi 4+\pi k, k \in \mathbb{Z}$ полагаю, про этот $k$ идет речь
в нашем случае получается $\cos x\pm\sin x=\frac {\pi} {2a \sqrt 2}$ на данном этапе я не могу понять откуда $k$
далее
$\sin (x \pm \frac \pi 4)=\frac {\pi} {2a}$
$x \pm \frac \pi 4=(-1)^k \arcsin (\frac {\pi} {2a \sqrt 2})+\pi k, k \in \mathbb{Z}$

[ewert]

Нет, $k$ появляется раньше.

Если $\cos A=\cos B$, то как связаны $A$ и $B$ ?

[fraktal]

$A=\pm B+2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Теперь, кажется, понятно.