Собственные векторы

[Everest]

Прошу помочь мне решить задачу по алгебре:
Доказать, что собственный вектор линейного оператора $A$ с собственным значением $\lambda$ является собственным вектором оператора $f(A)$, где $f(t)$ - многочлен с собственным значением $f(\lambda)$
Так вот, если записать условие так $aA=\lambda a$ и $bf(A)=f(\lambda) b$. По сути ведь надо доказать, что $a=b$. Пожалуйста, подскажите как это сделать

[Хорхе]

А в чем проблема?
$A^n x = \lambda A^{n-1} x = \lambda^2 A^{n-2} x = \dots = \lambda^n x$.

[ewert]

Everest в сообщении #199620 писал(а):

По сути ведь надо доказать, что $a=b$. Пожалуйста, подскажите как это сделать

Неправильный порядок слов. Надо просто проверить, что вектор $b$, равный $a$, подходит. И, кстати, кто это Вас научил ставить оператор после своего аргумента???

[lofar]

ewert писал(а):

И, кстати, кто это Вас научил ставить оператор после своего аргумента???

Все правильно --- скаляры слева, операторы справа :--). Для векторных пространств не принципиально с какой стороны ставить скаляры и операторы --- скаляры коммутируют. В общем же случае модулей над кольцами сторона имеет значение. Видимо, лектор Everest готовит слушателей к этой теме.

[ewert]

Пусть убьётся апстену тот, кто скажет, что $(1\ 2)\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}$ -- это то же самое, что и $\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}(1\ 2).$

[lofar]

Не вполне понял ваш аргумент. Второе выражение не определено --- и что?

[Nerazumovskiy]

(11 17)