Уравнение в частных производных

[Виктория123]

Здравствуйте! Помогите разобраться с задачей.

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial^2 U} {\partial t^2}=a^2\triangle_2U+\chi sin {\omega t},\\ U|_{t=0}=0,\\ U|_{\left| x \right|=R}=0 ,\\ {\frac {\partial U} {\partial t}}|_{t=0}=0 \end{array} \right.$$

где

$$\left| x \right|<R$$

,

$$\chi=const $$

,

$$\omega=const$$

,не совпадает ни с одной из собственных частот(отсутствие резонанса)

$2)$ Стала решать уравнение,но пока без

$$\chi sin {\omega t}$$

Вот что получилось

переход к полярным координатам
x=(x_1,x_2), \\ x_1=\rho cos \phi, \\ x_2=\rho sin \phi, \\ \left| x \right|=\rho, \\ U|_{\left| x \right|=R}=0=U_{\rho=R} ,\\ U(\rho,\phi,t)=U(\rho,t), \\ \triangle_2U=\frac {\partial^2 U} {\partial {\rho}^2}+\frac {1} {\rho} \frac {\partial U} {\partial {\rho}}
Подставялем в уравнение

$$\frac {\partial^2 U} {\partial t^2}=a^2(\frac {\partial^2 U} {\partial {\rho}^2}+\frac {1} {\rho} \frac {\partial U} {\partial {\rho}}) $$

Дальше ,ищем решение ввиде

$$ U(\rho,t)=R(\rho)T(t) $$

$$RT''=a^2(R''T+ \frac 1 {\rho} R'T)$$

$$\frac {T''} {a^2 T}=\frac {R''} R+\frac 1 \rho \frac {R'} {R} =-{\lambda }^2 $$

$$R''+\frac 1 \rho R'+{\lambda }^2R=0 $$

[Александр Т.]

Виктория123 писал(а):

Здравствуйте! Помогите разобраться с задачей.
...
Дальше ,ищем решение ввиде

$$ U(\rho,t)=R(\rho)T(t) $$

$$RT''=a^2(R''T+ \frac 1 {\rho} R'T)$$

$$\frac {T''} {a^2 T}=\frac {R''} R+\frac 1 \rho \frac {R'} {R} =-{\lambda }^2 $$

$$R''+\frac 1 \rho R'+{\lambda }^2R=0 $$

А вот дальше что делать?

Решить полученное уравнение для $R$, составить, исходя из аналогичных рассуждений, уравнение для $T$ и решить его, затем искать решение исходного уравнения в частных производных в виде подходящего интеграла Фурье, составленного из произведения найденных функций $R$ и $T$.

[Виктория123]

Понятно.А тогда где потом у нас появятся функции Бесселя?
То есть указание было дано же с ними.

[Александр Т.]

Виктория123 писал(а):

А тогда где потом у нас появятся функции Бесселя?
То есть указание было дано же с ними.

Если я не ошибаюсь решение уравнения

$$R''+\frac 1 \rho R'+{\lambda }^2R=0 $$

выражается как раз через функции Бесселя. Так что, они появятся когда Вы выпишите решение этого уравнения.

[Виктория123]

А как его решать?
Нужно сначала с помощью замены привести его к виду

$$y''+\frac 1 x y'+y=0 $$

,а потом просто ответ этого уравнения

$$R(\rho)=I_0(...)$$

?

А не подскажите какую замену сделать? То есть можно так сделать:

$$x=\lambda \rho$$

значит

$$\rho=\frac x {\lambda}$$

$$y'=\frac {R'} {\lambda} ?$$

[Александр Т.]

Виктория123 писал(а):

А как его решать?
Нужно сначала с помощью замены привести его к виду

$$y''+\frac 1 x y'+y=0 $$

,а потом просто ответ этого уравнения

$$R(\rho)=I_0(...)$$

?

А не подскажите какую замену сделать?

Попробуйте снчала решить уравнение для $T$ и воспользоваться начальными условиями Вашей задачи. Возможно они дадут такие ограничения для $\lambda$, что оно может принимать только одно значание.

Для дальнейших вычислений я рекомендую Вам воспользоваться справочником Камке "Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям". Там в разделе 2.162 приведено много уравнений, которые сводятся к уравнению Бесселя (см. формулы 2.162.1-24). Если у Вас нет его бумажного варианта, место, откуда его можно скачать, можно найти на сайте Поиск электронных книг.

Возможно Вам будет достаточно того, что (если я не ошибаюсь) модифицированная функция Бесселя --- это обычная функция Бесселя от мнимого аргумента, точнее,

$$I_\nu(z)=J_\nu(\mathrm{i}z).$$

[Виктория123]

Ок,спасибо за советы!
Только наверно у меня будут только обычные функции Бесселя,просто я под

$$I$$

имела ввиду обычную функцию $J$(так было в задании)

Добавлено спустя 46 минут 18 секунд:

А еще вот вопрос:верно было моё утверждение ,что функция $U$ после перехода к полярным координатам не зависит от $\phi$ ?

[Виктория123]

Решение уравнения Бесселя получилось такое

$$R(\rho)=J_0(\lambda \rho)$$

и

$$\lambda_m=\frac {\mu_m} R$$

,где

$$\mu_m$$

-это нули функции Бесселя.(

$$\mu_m=1,2,...$$

)
Дальше записываем решение ввиде ряда и подставляем в уравнение.Но вот что непонятно,что делать с синусом,который в правой части уравнения?

[Александр Т.]

Виктория123 писал(а):

... Но вот что непонятно,что делать с синусом,который в правой части уравнения?

Как и для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений общее решение этого линейного неоднородного уравнения в частных производных есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Частное решение этого уравнения легко получить, ищя его в виде $B\sin\omega t$.

Виктория123 писал(а):

Решение уравнения Бесселя получилось такое

$$R(\rho)=J_0(\lambda \rho)$$

...

Давайте остановим это мгновение и осознаем насколько оно прекрасно. Дело в том, что Вы практически получили общее решение соответствующего однородного уравнения. Оно имеет вид

$$ \int\limits_{-\infty}^\infty f(\lambda) J_0(\lambda\rho) T(t,\lambda) \,\mathrm{d}\lambda , $$

где $f(\lambda)$ --- произвольная функция. (На самом деле --- это не совсем общее решение, но не будем портить себе праздник излишиними деталями). Таким образом, общее решение имеет вид

$$ U = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\lambda) J_0(\lambda\rho) T(t,\lambda) \,\mathrm{d}\lambda + B\sin\omega t . $$

Именно его нужно подставлять в граничные и начальные условия.

Вроде бы так решают граничные задачи методом разделения переменнных для линейных неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных.

Виктория123 писал(а):

... и

$$\lambda_m=\frac {\mu_m} R$$

,где

$$\mu_m$$

-это нули функции Бесселя.(

$$\mu_m=1,2,...$$

)

А Вы подставили в граничное условие общее решение соответствующего однородного уравнения.

[Виктория123]

Да,поняла,не туда подставила.

Но вот откуда интеграл появился не понятно.
Мне все таки наверно нужно ввиде ряда записывать:

$$\sum{J_0(\lambda \rho)T(t)}$$

А потом подставив ряд в уравнение найти $T(t)$.(В указании про ряд Фурье написано

$$xI_1(x)=\int\limits_{0}^{x}{x'I_0(x')dx'}$$

и воспользоваться ею при вычислении коэффициентов ряда Фурье.)
Как я понимаю это формула чтоб как раз этот синус в такой же ряд разложить? А по чему:по

$$J_0(\lambda p)$$

?

[Александр Т.]

Виктория123 писал(а):

Да,поняла,не туда подставила.

Но вот откуда интеграл появился не понятно.

Вы нашли множество решений, параметризованное параметром $\lambda$. Поскольку уравнение линейное, то любая линейная комбинация его решений тоже будет являться его решением. Если бы найденное множество решений было конечным, то эта линейная комбинация была бы конечной суммой, если бы множество решений было бы бесконечным, но счетным, то она была бы бесконечным рядом. Но поскольку у Вас найденное множество решений имеет мощность континуум (посколько параметризовано параметром, меняющимся непрерывно), то линейная комбинация решений представляет собой интеграл.

Цитата:

Мне все таки наверно нужно ввиде ряда записывать

Если после подстановки в одно из граничных условий функция $f(\lambda)$ примет вид

$$ f(\lambda) = \sum\limits_{k=1}^\infty \delta\left(\lambda-\lambda_k\right) , $$

где $\delta(x)$ --- дельта-функция Дирака, то Вы и получите ряд. Но просто так без каких-либо оснований отбрасывать часть (причем, если не лучшую, то большую (в смысле мощности) часть) найденных решений я не рекомендую.

[Виктория123]

А все таки,как можно разложить в ряд Фурье тот синус по функции Бесселя?


То есть как взять интеграл от функции Бесселя,воспользовавшись указанием? Не соображу,какую замену нужно сделать...

[Виктория123]

Кто нибудь ,пожалуйста,подскажтите как это делается?(

[Zai]

Вам необходимо воспользоваться ортогональностью.
Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом r:
# \int\limits_0^R J_\nu(\frac {\mu_i r} R )J_\nu(\frac {\mu_j r} R )r~dr ={\delta (i-j)} \frac {R^2} 2 J_{\nu+1} ^2(\mu_i)

$u(r,t)=\sum\limits_{i=1}^\infty J_0 (\frac {\mu_i r} R )T_i(t)

$T_i^{''}+\frac {c^2 \mu_i ^2} {R^2} T_i=a_i \chi \sin \omega t
$T_i(0)=0
$T_i^{'} (0)=0
$a_i = \frac 2 {R^2 J_{1}^2 (\mu_i)}\int\limits_0^R J_0(\frac {\mu_i r} R )r~dr

[Виктория123]

Большое спасибо Zai!