помогите найти оригинал от изображения

[Ne1R0N]

Помогите найти оригинал f(t)-?
$F(p)= \frac{1}{(p^2+1)^2}$

[Хорхе]

Попробуйте сначала найти оригиналы для

$$ F_1(p) = \frac{1}{1+p^2} $$

и для

$$ F_2(p) = \frac{p}{1+p^2}. $$

[Imperator]

$F(p)=F_{1}(p)\cdot F_{2}(p)$, где $F_{1}(p)=F_{2}(p)=\frac{1}{p^2+1}.$
$F_{i}(p)$$\Longleftrightarrow$ $\sin t,$ значит, $f(t)=\int_{0}^{t}\sin\tau\cdot\sin(t-\tau) d\tau=...$
$f(t)$ есть оригинал $F(p).$

[Ne1R0N]

А не применяя свертку, возможно это решить?

[Imperator]

Вам что, впадло интеграл найти?

[Ne1R0N]

Imperator нет конечно, но преподователь требует без свертки..(

[ewert]

Тогда преподаватель -- в некотором смысле жлобствует, поскольку свёртка тут именно идейна, отказ же от неё требует некоторых извращений. Впрочем, не таких уж и больших: просто продифференцируйте по $p$ функцию ${p\over 1+p^2}$, а потом свяжите полученный результат с искомым выражением и с просто ${1\over 1+p^2}$.

[Ne1R0N]

всетаки решил некоторыми преобразованиями:
$F(p)= \frac{1}{(p^2+1)^2} = \frac{p^2-p^2+1+1}{2(p^2+1)^2} = \frac{(p^2+1)-(p^2-1)}{2(p^2+1)^2} = \frac{p^2+1}{2(p^2+1)^2} - \frac{p^2-1}{2(p^2+1)^2} \to \frac12 (sin(t)-tcos(t))$

Всем спасибо!