Вектор функции

[Норберт]

Пусть $f$ вещественнозначная дважды дифференцируема на $(0, +\infty)$ причем
$M_{k} = \sup\limits_{x \in (0, +\infty)}|f^{(k)}(x)| < +\infty$ где $k \in \{0,1, 2\}$
тогда используя теорему Тейлора можно доказать что $M\limits_{1}^{2} \leqslant 4 M_{0} M_{2}$.

Подскажите как это утверждение доказать/опровергнуть для векторнозначных функций

[mihiv]

Обозначим $V_k^i -sup$ модуля $ i-$ой компоненты вектора $\overrightarrow f^{(k)},k=0,1,2$,а через $V_k -sup |\overrightarrow f^{(k)}|.$Для $i-$х компонент векторов $\overrightarrow f^{(k)}$ справедливы неравенства $(\left V_1^i\right)^2\leqslant 4V_0^iV_2^i$.Просуммируем эти неравенства по$i$ от $1$ до$n$ и учтем, что $V_1^2 \leqslant \sum\limits_{i=1}^n(\left V_1^i\right)^2 ,V_0^i\leqslant V_0, V_2^i\leqslant V_2.$В результате получим $(\left V_1)^2\leqslant 4nV_0V_2.$ От одномерного случая отличается множителем $n$. В общем полной аналогии с одномерным случаем у меня не получилось

[mihiv]

Неравенство можно уточнить. Для этого разложим вектор-функцию $\overrightarrow f(x)$ по формуле Тэйлора в точке $x$.Точку $x$ выберем так, что $|\overrightarrow f^{(1)}(x)|=V_1$.

$$\overrightarrow f(x+h)= \overrightarrow f(x)+ \overrightarrow f^{(1)}(x)h+ \overrightarrow a\frac{h^2}2$$

Мы не можем записать вектор $\overrightarrow a$ в виде $\overrightarrow f^{(2)}( y )$, потому что его компоненты имеют различные значения аргументов. $|\overrightarrow a|=\sqrt {\sum\limits_{i=1}^n ( \right f_i^{(2)}(y_i)\left)^2} \leqslant\sqrt nV_2$, т.к. $|f_i^{(2)}( y_i)| \leqslant V_2^i \leq V_2$ где $ y_i \in [x,x+h]$. Очевидно,что $V_0 \geqslant |\overrightarrow f(x+h)| \geqslant |\overrightarrow f^{(1)}(x)h| - |\overrightarrow f(x)| - |\overrightarrow a\frac{h^2}2| \geqslant V_1|h| - V_ 0 - \sqrt nV_2\frac{h^2}2.$ Или $2V_0 - V_1|h| + \sqrt n V_2\frac{h^2}2 \geqslant0.$ Отсюда ввиду произвольности $h$ получим уточненное неравенство $(V_1)^2 \leqslant 4\sqrt nV_0V_2$