Разность равномерно распределенных величин

[--mS--]

ASA писал(а):

--mS-- писал(а):

Пример выше уже приводился: $\xi \equiv \eta$ - две величины с равномерным распределением на отрезке $[0,\,a]$, если величина $\xi$ имеет там равномерное распределение. При этом $\mathsf E(|\xi-\eta|)=0$

УСЛОВНОЕ мат.ожидание $\mathsf E(|\xi-\eta| / \xi-\eta=0)=0$

Потрясающе. При чём тут условные матожидания вообще? Я уж не говорю о том, что событие в условии у Вас в данном примере - достоверное.

Приведите, пожалуйста, пример двух зависимых случайных величин с равномерными распределениями на этом самом отрезке и вычислите, пожалуйста, матожидание модуля их разности.

ASA писал(а):

Тогда БЕЗУСЛОВНОЕ мат.ожидание равно

$$ E(|\xi-\eta|)=E\{E(|\xi-\eta|/\xi)\}=\int_{-\infty}^\infty E(|\xi-\eta|/\xi=x)f(x)dx=\frac{1}{a}\int_0^a E(|\xi-\eta|/\xi=x)dx=\frac{a}{3} $$

Последнее равенство обоснуйте, пожалуйста.

[AD]

ASA, Н у В ы Д а ё т е. У Вас аццкое непонимание вскрылось походу. Как будто никогда зависимых случайных величин не видели.

Одна ситуация - когда есть две независимые случайные величины. И тогда $\{\xi=\eta\}$ будет, скорее всего, некоторым осмысленным событием, и по нему имеет смысл считать условные вероятности.

Другая ситуация - это когда $\xi=\eta$ на всем вероятностном пространстве. То есть $\{\xi=\eta\}$ - достоверное событие, и $\mathrm{E}(\zeta/\{\xi=\eta\})\equiv\mathrm{E}\zeta$.

[ASA]

--mS писал(а):

При чём тут условные матожидания вообще? Я уж не говорю о том, что событие в условии у Вас в данном примере - достоверное.

Без комментариев.

--mS-- писал(а):

ASA писал(а):

Тогда БЕЗУСЛОВНОЕ мат.ожидание равно

$$ E(|\xi-\eta|)=E\{E(|\xi-\eta|/\xi)\}=\int_{-\infty}^\infty E(|\xi-\eta|/\xi=x)f(x)dx=\frac{1}{a}\int_0^a E(|\xi-\eta|/\xi=x)dx=\frac{a}{3} $$

Последнее равенство обоснуйте, пожалуйста.

$$ \frac{1}{a}\int_0^a E(|\xi-\eta|/\xi=x)dx=\frac{1}{a}\int_0^a E(|x-\eta|)dx=\frac{1}{a}\int_0^a \frac{1}{a}\int_0^a|x-y|dydx=\frac{a}{3} $$

[--mS--]

ASA писал(а):

$$ \frac{1}{a}\int_0^a E(|\xi-\eta|/\xi=x)dx=\frac{1}{a}\int_0^a E(|x-\eta|)dx=\frac{1}{a}\int_0^a \frac{1}{a}\int_0^a|x-y|dydx=\frac{a}{3} $$

А тут первое равенство обоснуйте. А лучше зачеркните.

Вы действительно не понимаете, или это неудачная шутка?

[ASA]

AD писал(а):

Одна ситуация - когда есть две независимые случайные величины. И тогда $\{\xi=\eta\}$ будет, скорее всего, некоторым осмысленным событием, и по нему имеет смысл считать условные вероятности.

А для зависимых СВ событие $\{\xi=\eta\}$ не осмысленно? Тоже осмысленно.

AD писал(а):

Другая ситуация - это когда $\xi=\eta$ на всем вероятностном пространстве. То есть $\{\xi=\eta\}$ - достоверное событие, и $\mathrm{E}(\zeta/\{\xi=\eta\})\equiv\mathrm{E}\zeta$.

Здесь я, пожалуй, соглашусь. Но здесь речь идет уже о ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ зависимости (как и везде в теме?).
В этом корень проблемы? Есть зависимость СВ (в смысле не явл. независимыми) и есть функциональная зависимость? Так что ли? Что-то вы меня запутали.

[AD]

ASA в сообщении #198645 писал(а):

А для зависимых СВ событие $\{\xi=\eta\}$ не осмысленно? Тоже осмысленно.

Осмыслено, конечно. Просто, чтобы Вы поняли, я нарисовал совсем уж противоположную ситуацию.

ASA в сообщении #198645 писал(а):

Здесь я, пожалуй, соглашусь.

Так об этом все Вам и твердят уже вторую страницу! Что если не предполагать независимость (обычную, "вероятностную" то есть), то может быть всё что угодно. То есть даже $\mathrm{E}|\xi-\eta|=0$, как Вы только что согласились (подставим $\zeta=|\xi-\eta|$).

[ASA]

--mS-- писал(а):

ASA писал(а):

$$ \frac{1}{a}\int_0^a E(|\xi-\eta|/\xi=x)dx=\frac{1}{a}\int_0^a E(|x-\eta|)dx=\frac{1}{a}\int_0^a \frac{1}{a}\int_0^a|x-y|dydx=\frac{a}{3} $$

А тут первое равенство обоснуйте. А лучше зачеркните.

Вы действительно не понимаете, или это неудачная шутка?

Так. А здесь что не нравится? Если вы про знак мат.ожидания, то они имеют разный смысл и определяются из контекста. Первый - 'это условное МО и по двумерной СВ $(\xi,\eta)$. Второй - по $\eta$ и безусловное.
И вообще, вероятностники есть. Проясните ситуацию.

[--mS--]

ASA писал(а):

Так. А здесь что не нравится? Если вы про знак мат.ожидания, то они имеют разный смысл и определяются из контекста. Первый - 'это условное МО и по двумерной СВ $(\xi,\eta)$. Второй - по $\eta$ и безусловное.
И вообще, вероятностники есть. Проясните ситуацию.

Ну да, а мы тут - так, погулять вышли.

Не нравится то, что равенство, которое Вы записали, неверно. Сравните с верным:

$$ \frac{1}{a}\int_0^a \mathsf E(|\xi-\eta|~|~\xi=x)dx=\frac{1}{a}\int_0^a \mathsf E(|x-\eta|~|~\xi=x)dx $$

[ASA]

--mS-- писал(а):

$$ \frac{1}{a}\int_0^a \mathsf E(|\xi-\eta|~|~\xi=x)dx=\frac{1}{a}\int_0^a \mathsf E(|x-\eta|~|~\xi=x)dx $$

Оба-на! Блин, и все из-за такой "малости". Тогда для независимых $\xi$ и $\eta$ имеем

$$ \frac{1}{a}\int_0^a \mathsf E(|x-\eta|~|~\xi=x)dx=\frac{1}{a}\int_0^a \mathsf E(|x-\eta|)dx=a/3. $$

Значит, все-таки, $\mathsf E(|\xi-\eta|)=a/3$ для независимых $\xi$ и $\eta$.
Так бы сразу и сказали . Всех благодарю за продуктивное обсуждение (--mS--, в особенности)
и прошу прощения за порой резкие высказывания. В пылу спора чего не скажешь.

Добавлено спустя 16 минут 50 секунд:

Что ж получается? В общем случае, $E(|\xi-\eta|)$ нельзя вычислить без знания совместного распределения $(\xi,\eta)$?

[Henrylee]

ASA писал(а):

Что ж получается? В общем случае, $E(|\xi-\eta|)$ нельзя вычислить без знания совместного распределения $(\xi,\eta)$?

Категорически нет.