Разность равномерно распределенных величин

[AndreyXYZ]

Пусть $\xi,\eta$ --- случайные величины, имеющие равномерное распределение на $\left[0,a\right] \subset \mathbb{R}$. Найти $\mathsf{E}(|\xi - \eta|)$.
Я получил

$$\mathsf{E}(|\xi - \eta|)=\frac{a}3$$

. Это верно?

[bubu gaga]

У меня тоже самое получилось

[AndreyXYZ]

Отлично!

[ASA]

Для независимых $\xi$ и $\eta$ так. В общем случае - большой вопрос.

[ASA]

Да и в общем так.

[Xaositect]

ASA писал(а):

Да и в общем так.

Неа, если $\xi=\eta$, то точно не так

[ASA]

Xaositect писал(а):

ASA писал(а):

Да и в общем так.

Неа, если $\xi=\eta$, то точно не так

А что мы считаем мат.ожидание $E(|\xi-\eta|)$ или условное мат.ожидание $E(|\xi-\eta|\,|\,\xi=\eta)$?

[Xaositect]

Пусть $\xi$ распределена равномерно на $[0,a]$, $\eta=\xi$. Тогда
$\eta$ и $\xi$ - случайные величины.
$\eta$ и $\xi$ распределены равномерно на $[0,a]$
$\mathrm{E}(|\eta-\xi|) = 0$

[ASA]

Xaositect писал(а):

Пусть $\xi$ распределена равномерно на $[0,a]$, $\eta=\xi$. Тогда
$\eta$ и $\xi$ - случайные величины.
$\eta$ и $\xi$ распределены равномерно на $[0,a]$
$\mathrm{E}(|\eta-\xi|) = 0$

Нет. $\mathrm{E}(|\eta-\xi|\,/\,\eta=\xi) = 0$.

[Kuzya]

Xaositect : a=a
ASA: Нет! b=b :

[ASA]

Kuzya писал(а):

Xaositect : a=a
ASA: Нет! b=b :

Издеваемся? Я только хотел сказать, что $E(|\xi-\eta|)=\frac{a}{3}$, но $E(|\xi-\eta|\,|\,\xi=\eta)=0$, т.е. Xaositect не прав, когда говорит

Цитата:

Неа

[Xaositect]

Это как раз $E(|\xi-\eta|/\xi=\eta)$ всегда равно 0.(Впрочем, тут есть особый случай, когда $\xi$ никогда не совпадает с $\eta$)
А $E(|\xi-\eta|)$ без требования независимости может быть различным.

[ASA]

Xaositect писал(а):

(Впрочем, тут есть особый случай, когда $\xi$ никогда не совпадает с $\eta$)
А $E(|\xi-\eta|)$ без требования независимости может быть различным.

Бред.

[--mS--]

ASA писал(а):

Xaositect писал(а):

(Впрочем, тут есть особый случай, когда $\xi$ никогда не совпадает с $\eta$)
А $E(|\xi-\eta|)$ без требования независимости может быть различным.

Бред.

Что именно тут является бредом? Просто по определению указанное математическое ожидание зависит от совместного распределения случайных величин $\xi$ и $\eta$, которое может быть разным при одних и тех же частных распределениях случайных величин $\xi$ и $\eta$.

Пример выше уже приводился: $\xi \equiv \eta$ - две величины с равномерным распределением на отрезке $[0,\,a]$, если величина $\xi$ имеет там равномерное распределение. При этом $\mathsf E(|\xi-\eta|)=0$.

Могу ещё примеров привести: пусть снова распределение $\xi$ равномерное на $[0,\,a]$, и $\eta=a-\xi$ - тоже имеет равномерное на этом отрезке распределение. Тогда $\mathsf E(|\xi-\eta|)=\mathsf E(|2\xi-a|)=a/2$.

[ASA]

--mS-- писал(а):

Пример выше уже приводился: $\xi \equiv \eta$ - две величины с равномерным распределением на отрезке $[0,\,a]$, если величина $\xi$ имеет там равномерное распределение. При этом $\mathsf E(|\xi-\eta|)=0$

УСЛОВНОЕ мат.ожидание $\mathsf E(|\xi-\eta| / \xi-\eta=0)=0$

--mS-- писал(а):

Могу ещё примеров привести: пусть снова распределение $\xi$ равномерное на $[0,\,a]$, и $\eta=a-\xi$ - тоже имеет равномерное на этом отрезке распределение. Тогда $\mathsf E(|\xi-\eta|)=\mathsf E(|2\xi-a|)=a/2$.

УСЛОВНОЕ мат.ожидание $\mathsf E(|\xi-\eta| / \xi+\eta=a)=a/2$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ равномерно распределенные СВ с плотностью $f(x)=1/a$ при $x\in [0,a]$ и $f(x)=0$ при $x\notin [0,a]$.
Тогда БЕЗУСЛОВНОЕ мат.ожидание равно

$$ E(|\xi-\eta|)=E\{E(|\xi-\eta|/\xi)\}=\int_{-\infty}^\infty E(|\xi-\eta|/\xi=x)f(x)dx=\frac{1}{a}\int_0^a E(|\xi-\eta|/\xi=x)dx=\frac{a}{3} $$