Полином Чебышева на различных отрезках?

[tux]

В Интернете практически всюду упоминается, что полином Чебышева (первого, второго родов) существует на отрезке [-1; 1]. А существует ли он на других отрезках, ну, например, на [0;1]? Если да, то как найти его коэффиценты в этом случае?

Спасибо.

[RIP]

Для отрезка $[a;b]$ многочлены Чебышёва определяются через "обычные" с помощью линейной замены переменной
$t=\frac{2x-a-b}{b-a},x=\frac{a+b}2+\frac{b-a}2t,x\in[a;b],t\in[-1;1]$.

[Gordmit]

Если я правильно понимаю, то если $P_n(x)$ - полином Чебышева на $[-1,1]$, то $P_n\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right)$ - полином Чебышева на произвольном отрезке $[a,b]$.

Для отрезка $[0,1]$ получится просто $P_n(2x-1)$.

[RIP]

Gordmit писал(а):

Если я правильно понимаю, то если $P_n(x)$ - полином Чебышева на $[-1,1]$, то $P_n\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right)$ - полином Чебышева на произвольном отрезке $[a,b]$.

Да.
Если говорить о приведенных многочленах Чебышёва (со старшим коэффициентом 1), то еще надо домножить на соответствующий множитель.
В принципе выражение $x$ через $t$ не нужно, просто по привычке написал.

[tux]

О! Ясно. Спасибо большое за объяснения.

[Imnix]

RIP писал(а):

Если говорить о приведенных многочленах Чебышёва (со старшим коэффициентом 1), то еще надо домножить на соответствующий множитель.

А что за "соответствующий множитель"?? Разъясните пожалуйста!!

[ewert]

Imnix писал(а):

RIP писал(а):

Если говорить о приведенных многочленах Чебышёва (со старшим коэффициентом 1), то еще надо домножить на соответствующий множитель.

А что за "соответствующий множитель"?? Разъясните пожалуйста!!

"Умножить на соответствующий множитель" == "Разделить на старший коэффициент".

Который для стандартного на $[-1;1]$ многочлена Чебышёва равен $2^n$.

Только никому это, как правило, не нужно, гораздо выгоднее стандартная нормировка. Единственное, наверное, исключение -- это когда оценивается погрешность интерполяции по чебышёвским узлам.

[Imnix]

ewert, спасибо за пояснения! Но, мне, как человеку далёкому от математики, всё же не очень непонятно. :( Вот, допустим, тут http://tms.ystu.ru/gr_help.new/chapter_5_7.htm#equat0508 алгоритм вычисления аппроксимации функции по Чебышёву. Я его посчитаю для свой функции, получу, допустим, $f(x)=А+Вx+Cx^2+Dx^3$, но это будет на интервале [-1; 1]. А как получить значение этой приближённой функции с интервала [a; b]? Расскажи пожалуйста прям на примере, если не очень трудно!

[ewert]

Всё уже разъяснено, и вполне чётко:

RIP в сообщении #47653 писал(а):

Для отрезка $[a;b]$ многочлены Чебышёва определяются через "обычные" с помощью линейной замены переменной
$t=\frac{2x-a-b}{b-a},x=\frac{a+b}2+\frac{b-a}2t,x\in[a;b],t\in[-1;1]$.

Gordmit в сообщении #47656 писал(а):

если $P_n(x)$ - полином Чебышева на $[-1,1]$, то $P_n\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right)$ - полином Чебышева на произвольном отрезке $[a,b]$.

Но тут есть ещё один технический нюанс. Если Вы получили в качестве приближения некоторое разложение по многочленам Чебышёва, то крайне невыгодно с вычислительной точки зрения приводить его к стандартному полиномиальному виду. Гораздо удобнее считать его значения в конкретных точках ровно по той формуле, которая получилась, т.е. как $f(x)\approx\sum_{k=0}^nc_kT_n(t)$, где значения многочленов Чебышёва подсчитываются по мере накопления суммы с помощью рекуррентного соотношения $T_{k+1}(t)=2t\cdot T_{k}(t)-T_{k-1}(t)$, а значение $t$ определяется через $x$ так, как указал RIP.

[Imnix]

Этот чебышев считает значение функции лишь на отрезке -1..1, а берешь другой отрезок, выражаешь по вышенаписанным формулам и получается, что x который надо подставить в функцию, просто масштабируется опять же до отрезке -1..1 и значение функции выдается тоже "смасштабированное". Как-то так, что ли... Ну не выходит у меня получить нужное значение функции (полинома) при x=3 (к примеру), как ни крути эти замены

[ewert]

Imnix в сообщении #198314 писал(а):

и значение функции выдается тоже "смасштабированное".

Извините, но это чушь какая-то. Перемасштабируются только значения аргумента функций, а уж значения функции при известном аргументе -- уж какие есть, такие и есть.

[Imnix]

Так получается, что значение функции, приближенной по чебышеву можно получить лишь в промежутке икса от -1 до 1?? Просто думалось, что раз любой икс можно "загнать" в этот интервал, то и полученное значение функции от этого икса можно потом каким-то образом преобразовать в нормальный масштаб, чтобы получить значение от первоначального икса.