2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полином Чебышева на различных отрезках?
Сообщение04.01.2007, 19:33 


04/01/07
3
В Интернете практически всюду упоминается, что полином Чебышева (первого, второго родов) существует на отрезке [-1; 1]. А существует ли он на других отрезках, ну, например, на [0;1]? Если да, то как найти его коэффиценты в этом случае?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Для отрезка $[a;b]$ многочлены Чебышёва определяются через "обычные" с помощью линейной замены переменной
$t=\frac{2x-a-b}{b-a},x=\frac{a+b}2+\frac{b-a}2t,x\in[a;b],t\in[-1;1]$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 19:45 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Если я правильно понимаю, то если $P_n(x)$ - полином Чебышева на $[-1,1]$, то $P_n\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right)$ - полином Чебышева на произвольном отрезке $[a,b]$.

Для отрезка $[0,1]$ получится просто $P_n(2x-1)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Gordmit писал(а):
Если я правильно понимаю, то если $P_n(x)$ - полином Чебышева на $[-1,1]$, то $P_n\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right)$ - полином Чебышева на произвольном отрезке $[a,b]$.

Да.
Если говорить о приведенных многочленах Чебышёва (со старшим коэффициентом 1), то еще надо домножить на соответствующий множитель.
В принципе выражение $x$ через $t$ не нужно, просто по привычке написал.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.01.2007, 19:58 


04/01/07
3
О! Ясно. Спасибо большое за объяснения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 09:46 


09/03/09
5
RIP писал(а):
Если говорить о приведенных многочленах Чебышёва (со старшим коэффициентом 1), то еще надо домножить на соответствующий множитель.


А что за "соответствующий множитель"?? Разъясните пожалуйста!! :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 09:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Imnix писал(а):
RIP писал(а):
Если говорить о приведенных многочленах Чебышёва (со старшим коэффициентом 1), то еще надо домножить на соответствующий множитель.


А что за "соответствующий множитель"?? Разъясните пожалуйста!! :oops:

"Умножить на соответствующий множитель" == "Разделить на старший коэффициент".

Который для стандартного на $[-1;1]$ многочлена Чебышёва равен $2^n$.

Только никому это, как правило, не нужно, гораздо выгоднее стандартная нормировка. Единственное, наверное, исключение -- это когда оценивается погрешность интерполяции по чебышёвским узлам.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 11:17 


09/03/09
5
ewert, спасибо за пояснения! Но, мне, как человеку далёкому от математики, всё же не очень непонятно. :( Вот, допустим, тут http://tms.ystu.ru/gr_help.new/chapter_5_7.htm#equat0508 алгоритм вычисления аппроксимации функции по Чебышёву. Я его посчитаю для свой функции, получу, допустим, $f(x)=А+Вx+Cx^2+Dx^3$, но это будет на интервале [-1; 1]. А как получить значение этой приближённой функции с интервала [a; b]? Расскажи пожалуйста прям на примере, если не очень трудно! :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 11:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Всё уже разъяснено, и вполне чётко:

RIP в сообщении #47653 писал(а):
Для отрезка $[a;b]$ многочлены Чебышёва определяются через "обычные" с помощью линейной замены переменной
$t=\frac{2x-a-b}{b-a},x=\frac{a+b}2+\frac{b-a}2t,x\in[a;b],t\in[-1;1]$.

Gordmit в сообщении #47656 писал(а):
если $P_n(x)$ - полином Чебышева на $[-1,1]$, то $P_n\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right)$ - полином Чебышева на произвольном отрезке $[a,b]$.

Но тут есть ещё один технический нюанс. Если Вы получили в качестве приближения некоторое разложение по многочленам Чебышёва, то крайне невыгодно с вычислительной точки зрения приводить его к стандартному полиномиальному виду. Гораздо удобнее считать его значения в конкретных точках ровно по той формуле, которая получилась, т.е. как $f(x)\approx\sum_{k=0}^nc_kT_n(t)$, где значения многочленов Чебышёва подсчитываются по мере накопления суммы с помощью рекуррентного соотношения $T_{k+1}(t)=2t\cdot T_{k}(t)-T_{k-1}(t)$, а значение $t$ определяется через $x$ так, как указал RIP.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 23:17 


09/03/09
5
Этот чебышев считает значение функции лишь на отрезке -1..1, а берешь другой отрезок, выражаешь по вышенаписанным формулам и получается, что x который надо подставить в функцию, просто масштабируется опять же до отрезке -1..1 и значение функции выдается тоже "смасштабированное". Как-то так, что ли... Ну не выходит у меня получить нужное значение функции (полинома) при x=3 (к примеру), как ни крути эти замены :cry: :cry: :cry:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2009, 23:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Imnix в сообщении #198314 писал(а):
и значение функции выдается тоже "смасштабированное".

Извините, но это чушь какая-то. Перемасштабируются только значения аргумента функций, а уж значения функции при известном аргументе -- уж какие есть, такие и есть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.03.2009, 05:47 


09/03/09
5
Так получается, что значение функции, приближенной по чебышеву можно получить лишь в промежутке икса от -1 до 1?? Просто думалось, что раз любой икс можно "загнать" в этот интервал, то и полученное значение функции от этого икса можно потом каким-то образом преобразовать в нормальный масштаб, чтобы получить значение от первоначального икса.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group