Ограниченное решение ODE

[Тарелкин]

Интересно посмотреть, как справятся с этой задачей не студенты, но классики (местные:)).

Рассмотрим дифференциальное уравнение
$\dot x=x+f(t,x)$
1) функция $f$ непрерывна при всех $t\ge 0$ и $x\in \mathbb{R}$ и локально липшицева по $x$
2) на любом отрезке $[a,b]$ имеем
$\sup\{|f(t,x)|\mid (t\ge 0,\quad x\in [a,b]\}<\infty$
3) при каждом фиксированном $t$ $f$ не убывает по $x$.
Доказать, что диф. ур. имеет решение $x(t)$ ограниченное на интервале $t\ge 0$.

[Brukvalub]

Развлекали нас уже туточки похожими задачами: http://dxdy.ru/topic15937.html
Кстати, zoo был интересным участником, но обиделся на форум да и запропал , а жаль...

[Тарелкин]

Brukvalub писал(а):

Развлекали нас уже туточки похожими задачами: http://dxdy.ru/topic15937.html

У вас странные представления о похожести. Там функция f ограничена и убывает а здесь она может быть такой, например:
$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$
Разница понятна? Ладно посмотрим, чего еще смешного ответят.

[Brukvalub]

Тарелкин в сообщении #197508 писал(а):

У вас странные представления о похожести. Там функция f ограничена и убывает а здесь она может быть такой, например:
$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$
Разница понятна? Ладно посмотрим, чего еще смешного ответят.

Отсмеялиь, и слезы прошли?
А теперь почитайте предложенное там ewertом решение для одномерного случая. В нем как раз и используются лишь те ограничения, которые предлагаете вы.

[Тарелкин]

Brukvalub писал(а):

Тарелкин в сообщении #197508 писал(а):

У вас странные представления о похожести. Там функция f ограничена и убывает а здесь она может быть такой, например:
$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$
Разница понятна? Ладно посмотрим, чего еще смешного ответят.

Отсмеялиь, и слезы прошли?
А теперь почитайте предложенное там ewertом решение для одномерного случая. В нем как раз и используются лишь те ограничения, которые предлагаете вы.

он там использует ограниченность f:

ewert в сообщении #140626 писал(а):

причём в силу равномерной ограниченности $f$ при всех $C$ определена функция $\alpha(C)\equiv\int_0^{+\infty}e^{-s}f(x(s),s)ds.$

Что естественно, иначе как доказывать сходимость интеграла.
а у меня функция f неограничена. Вы не поняли доказательства на которое ссылаетесь.
Так, один местный классик облажался.

[Brukvalub]

Тарелкин в сообщении #197539 писал(а):

Что естественно, иначе как доказывать сходимость интеграла.

Вы уверены, что этот интеграл сходится только для ограниченных f ?

[Тарелкин]

Brukvalub писал(а):

Тарелкин в сообщении #197539 писал(а):

Что естественно, иначе как доказывать сходимость интеграла.

Вы уверены, что этот интеграл сходится только для ограниченных f ?

Мнда. Ну что тут сказать. Объясняю популярно.
Функция $f$ по условию может не быть ограниченной по $x$. В интеграл на место аргумента $x$ подставлено решение $x(s)$. Про это решение a priori ничего не известно. Оно может расти неконтролируемо, а вместе с ним и $f(x(s),s)$. Это понятно? Поэтому доказательство вашего друга не катит.
Судя по тому, что растолковывать приходится такие вещи, решения задачи я не увижу. Продолжайте дрючить второкурсников.

[ewert]

Тарелкин в сообщении #197539 писал(а):

а у меня функция f неограничена.

Это правда, но зато и стремления к нулю доказывать не нужно. Поэтому задача выглядит проще, всё вроде как следует из чисто топологических соображений (ну почти чисто)

Перепишем уравнение в виде $\dot x=x+f(t,x)+\varphi(t)$, где $f(t,x)$ удовлетворяет прежним требованиям плюс $f(t,0)\equiv0$, а $\varphi(t)$ ограничена на всей полуоси; без ограничения общности можно считать, что $|\varphi(t)|\leqslant1\ (\forall t)$. Обозначим через $x(C,t)$ решение уравнения с начальным условием $x(0)=C$. Пусть $M_t=\left\{C:\;\max\limits_{s\in[0;t]}|x(C,s)|\leqslant1\right\}.$ Эти множества замкнуты, не пусты при всех $t$ и ограничены (они заведомо содержатся в промежутке $[-1;\;1].$) Кроме того, они убывают, поэтому $M_{\infty}\equiv\bigcap\limits_{t\in[0;\infty)}M_t\neq\varnothing.$ Вот любая из $C\in M_{\infty}$ и даст ограниченное решение.

-------------------------------------------------------------------
Пыс. Не помешало бы Вам быть повежливее.

[Brukvalub]

Тарелкин в сообщении #197631 писал(а):

Функция $f$ по условию может не быть ограниченной по $x$. В интеграл на место аргумента $x$ подставлено решение $x(s)$. Про это решение a priori ничего не известно. Оно может расти неконтролируемо, а вместе с ним и $f(x(s),s)$.

Я этого не спрашивал.
Повторяю вопрос:

Brukvalub в сообщении #197567 писал(а):

Вы уверены, что этот интеграл сходится только для ограниченных f ?

Пока вы, Тарелкин, даже на уровень второкурсника не тянете, поскольку боитесь ответить на простейший вопрос о сходимости интеграла.
Вам же не решение задачи хочется получить, а всех здесь дураками выставить....

ewert в сообщении #197640 писал(а):

Пыс. Не помешало бы Вам быть повежливее.

А зачем? Ведь товарисч пришел сюда "весь в белом", показать всем свое интеллектуальное превосходство и нашу по сравнению с ним ничтожность...
Такие вежливыми не бывают.

[Тарелкин]

ewert в сообщении #197640 писал(а):

Перепишем уравнение в виде $\dot x=x+f(t,x)+\varphi(t)$, где $f(t,x)$ удовлетворяет прежним требованиям плюс $f(t,0)\equiv0$,

я же привел вам пример

Тарелкин в сообщении #197508 писал(а):

$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$

почему это функция
$(1+\cos t)e^{x^3}-(1+\cos t)$

ewert в сообщении #197640 писал(а):

удовлетворяет прежним требованиям

? она, что разве ограничена по $x$?

Brukvalub в сообщении #197679 писал(а):

Brukvalub в сообщении #197567 писал(а):
Вы уверены, что этот интеграл сходится только для ограниченных f ?

повторяю еще раз: в аргумент $f$ подставлена неизвестная функция $x(s)$ так: $f(x(s),s)$ Если $f$ ограничена, то интеграл сходится заведомо. Если f неограничена, то сходимость интеграла зависит от свойств $x(s)$ ,про которые мы заведомо ничего не знаем.

Очевидные потуги перевести разговор на с непонятного вам дифура на понятную вам тему "сходимости интегралов вообще", не пройдут. Я буду говорить только о задаче.

Brukvalub в сообщении #197679 писал(а):

Пока вы, Тарелкин, даже на уровень второкурсника не тянете, поскольку боитесь ответить на простейший вопрос о сходимости интеграла.
Вам же не решение задачи хочется получить, а всех здесь дураками выставить....

И пока, Вашими стараниями , в частности, мне это вполне удается. Одни только жалкие попытки подловить меня сходимости интеграла чего стоят. Про сходимость интеграла вы еще знаете. Понимаю. Очевидно длительный пед стаж. по матану. А тут задачка не из Демидовича. Да еще и уважение не оказали. РЖУНИМАГУ

[ewert]

Тарелкин писал(а):

я же привел вам пример

Тарелкин в сообщении #197508 писал(а):

$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$

почему это функция
$(1+\cos t)e^{x^3}-(1+\cos t)$

ewert в сообщении #197640 писал(а):

удовлетворяет прежним требованиям

?

Вы не мне этот пример приводили. Читайте внимательнее.

Какие требования нарушились? Непрерывность? Локальная липшицевость? монотонность по иксам? Ограниченность по $t$ при каждом $x$? (Кстати, эти требования сильно избыточны.)

Тарелкин писал(а):

РЖУНИМАГУ

Вредно быть столь жизнерадостным -- это мешает состредоточенности.

[Тарелкин]

ewert в сообщении #197710 писал(а):

Какие требования нарушились?

функция f неограничена по x ,поэтому вы даже не знаете будут ли все решения бесконечно продолжаемы вправо.
Если ограниченных решений нет, то ваши множества

ewert в сообщении #197640 писал(а):

$M_t=\left\{C:\;\max\limits_{s\in[0;t]}|x(C,s)|\leqslant1\right\}.$

будут пустыми начиная с достаточно больших t.
поэтому утверждение

ewert в сообщении #197640 писал(а):

$M_{\infty}\equiv\bigcap\limits_{t\in[0;\infty)}M_t\neq\varnothing.$

непонятно откуда взялось,
как это вы верно заметили

ewert в сообщении #197710 писал(а):

Вредно быть столь жизнерадостным -- это мешает состредоточенности.

[ewert]

Тарелкин писал(а):

вы даже не знаете будут ли все решения бесконечно продолжаемы вправо, и не зная этого пишите такие формулы:

ewert в сообщении #197640 писал(а):

Пусть $M_t=\left\{C:\;\max\limits_{s\in[0;t]}|x(C,s)|\leqslant1\right\}.$ Эти множества замкнуты, не пусты при всех $t$ и ограничены (они заведомо содержатся в промежутке $[-1;\;1].$) Кроме того, они убывают, поэтому $M_{\infty}\equiv\bigcap\limits_{t\in[0;\infty)}M_t\neq\varnothing.$ Вот любая из $C\in M_{\infty}$ и даст ограниченное решение.

Даже если $x(t)$ не ограничено, то $M_t$ будет пустым при достаточно большом $t$.

Подсказка: если точка $(t_0,x_0)$ лежит в полосе $\left\{t\in[0;+\infty),x\in[-1;1]\right\}$, то проходящая через неё интегральная кривая не выйдет за пределы этой полосы при движении влево (вправо -- может выйти, но это уже не существенно). Выводы делайте сами.

Другой вопрос, что я малость перестарался и "в действительности всё проще, чем на самом деле". В качестве $M_t$ вполне достаточно брать $\left\{C:\;|x(C,t)|\leqslant1\right\}$ -- эти множества уже убывают.

[Тарелкин]

ewert в сообщении #197717 писал(а):

если точка $(t_0,x_0)$ лежит в полосе $\left\{t\in[0;+\infty),x\in[-1;1]\right\}$, то проходящая через неё интегральная кривая не выйдет за пределы этой полосы при движении влево (вправо -- может выйти, но это уже не существенно).

Да это решение.

[ewert]

А теперь уберите из формулировки заведомо избыточные требования.