2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ограниченное решение ODE
Сообщение22.03.2009, 18:31 


22/03/09
7
Интересно посмотреть, как справятся с этой задачей не студенты, но классики (местные:)).

Рассмотрим дифференциальное уравнение
$\dot x=x+f(t,x)$
1) функция $f$ непрерывна при всех $t\ge 0$ и $x\in \mathbb{R}$ и локально липшицева по $x$
2) на любом отрезке $[a,b]$ имеем
$\sup\{|f(t,x)|\mid (t\ge 0,\quad x\in [a,b]\}<\infty$
3) при каждом фиксированном $t$ $f$ не убывает по $x$.
Доказать, что диф. ур. имеет решение $x(t)$ ограниченное на интервале $t\ge 0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Развлекали нас уже туточки похожими задачами: http://dxdy.ru/topic15937.html
Кстати, zoo был интересным участником, но обиделся на форум да и запропал :( , а жаль...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 19:10 


22/03/09
7
Brukvalub писал(а):
Развлекали нас уже туточки похожими задачами: http://dxdy.ru/topic15937.html

У вас странные представления о похожести. Там функция f ограничена и убывает а здесь она может быть такой, например:
$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$
Разница понятна? Ладно посмотрим, чего еще смешного ответят.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Тарелкин в сообщении #197508 писал(а):
У вас странные представления о похожести. Там функция f ограничена и убывает а здесь она может быть такой, например:
$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$
Разница понятна? Ладно посмотрим, чего еще смешного ответят.

Отсмеялиь, и слезы прошли?
А теперь почитайте предложенное там ewertом решение для одномерного случая. В нем как раз и используются лишь те ограничения, которые предлагаете вы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 20:21 


22/03/09
7
Brukvalub писал(а):
Тарелкин в сообщении #197508 писал(а):
У вас странные представления о похожести. Там функция f ограничена и убывает а здесь она может быть такой, например:
$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$
Разница понятна? Ладно посмотрим, чего еще смешного ответят.

Отсмеялиь, и слезы прошли?
А теперь почитайте предложенное там ewertом решение для одномерного случая. В нем как раз и используются лишь те ограничения, которые предлагаете вы.

он там использует ограниченность f:
ewert в сообщении #140626 писал(а):
причём в силу равномерной ограниченности $f$ при всех $C$ определена функция $\alpha(C)\equiv\int_0^{+\infty}e^{-s}f(x(s),s)ds.$

Что естественно, иначе как доказывать сходимость интеграла.
а у меня функция f неограничена. Вы не поняли доказательства на которое ссылаетесь.
Так, один местный классик облажался.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Тарелкин в сообщении #197539 писал(а):
Что естественно, иначе как доказывать сходимость интеграла.

Вы уверены, что этот интеграл сходится только для ограниченных f ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 00:12 


22/03/09
7
Brukvalub писал(а):
Тарелкин в сообщении #197539 писал(а):
Что естественно, иначе как доказывать сходимость интеграла.

Вы уверены, что этот интеграл сходится только для ограниченных f ?

Мнда. Ну что тут сказать. Объясняю популярно.
Функция $f$ по условию может не быть ограниченной по $x$. В интеграл на место аргумента $x$ подставлено решение $x(s)$. Про это решение a priori ничего не известно. Оно может расти неконтролируемо, а вместе с ним и $f(x(s),s)$. Это понятно? Поэтому доказательство вашего друга не катит.
Судя по тому, что растолковывать приходится такие вещи, решения задачи я не увижу. Продолжайте дрючить второкурсников.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 00:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Тарелкин в сообщении #197539 писал(а):
а у меня функция f неограничена.

Это правда, но зато и стремления к нулю доказывать не нужно. Поэтому задача выглядит проще, всё вроде как следует из чисто топологических соображений (ну почти чисто)

Перепишем уравнение в виде $\dot x=x+f(t,x)+\varphi(t)$, где $f(t,x)$ удовлетворяет прежним требованиям плюс $f(t,0)\equiv0$, а $\varphi(t)$ ограничена на всей полуоси; без ограничения общности можно считать, что $|\varphi(t)|\leqslant1\ (\forall t)$. Обозначим через $x(C,t)$ решение уравнения с начальным условием $x(0)=C$. Пусть $M_t=\left\{C:\;\max\limits_{s\in[0;t]}|x(C,s)|\leqslant1\right\}.$ Эти множества замкнуты, не пусты при всех $t$ и ограничены (они заведомо содержатся в промежутке $[-1;\;1].$) Кроме того, они убывают, поэтому $M_{\infty}\equiv\bigcap\limits_{t\in[0;\infty)}M_t\neq\varnothing.$ Вот любая из $C\in M_{\infty}$ и даст ограниченное решение.

-------------------------------------------------------------------
Пыс. Не помешало бы Вам быть повежливее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 07:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Тарелкин в сообщении #197631 писал(а):
Функция $f$ по условию может не быть ограниченной по $x$. В интеграл на место аргумента $x$ подставлено решение $x(s)$. Про это решение a priori ничего не известно. Оно может расти неконтролируемо, а вместе с ним и $f(x(s),s)$.
Я этого не спрашивал.
Повторяю вопрос:
Brukvalub в сообщении #197567 писал(а):
Вы уверены, что этот интеграл сходится только для ограниченных f ?

Пока вы, Тарелкин, даже на уровень второкурсника не тянете, поскольку боитесь ответить на простейший вопрос о сходимости интеграла.
Вам же не решение задачи хочется получить, а всех здесь дураками выставить....

ewert в сообщении #197640 писал(а):
Пыс. Не помешало бы Вам быть повежливее.
А зачем? Ведь товарисч пришел сюда "весь в белом", показать всем свое интеллектуальное превосходство и нашу по сравнению с ним ничтожность...
Такие вежливыми не бывают. :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 10:48 


22/03/09
7
ewert в сообщении #197640 писал(а):
Перепишем уравнение в виде $\dot x=x+f(t,x)+\varphi(t)$, где $f(t,x)$ удовлетворяет прежним требованиям плюс $f(t,0)\equiv0$,

я же привел вам пример
Тарелкин в сообщении #197508 писал(а):
$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$

почему это функция
$(1+\cos t)e^{x^3}-(1+\cos t)$
ewert в сообщении #197640 писал(а):
удовлетворяет прежним требованиям

? она, что разве ограничена по $x$?

Brukvalub в сообщении #197679 писал(а):
Brukvalub в сообщении #197567 писал(а):
Вы уверены, что этот интеграл сходится только для ограниченных f ?

повторяю еще раз: в аргумент $f$ подставлена неизвестная функция $x(s)$ так: $f(x(s),s)$ Если $f$ ограничена, то интеграл сходится заведомо. Если f неограничена, то сходимость интеграла зависит от свойств $x(s)$ ,про которые мы заведомо ничего не знаем.

Очевидные потуги перевести разговор на с непонятного вам дифура на понятную вам тему "сходимости интегралов вообще", не пройдут. Я буду говорить только о задаче.
Brukvalub в сообщении #197679 писал(а):

Пока вы, Тарелкин, даже на уровень второкурсника не тянете, поскольку боитесь ответить на простейший вопрос о сходимости интеграла.
Вам же не решение задачи хочется получить, а всех здесь дураками выставить....

И пока, Вашими стараниями , в частности, мне это вполне удается. Одни только жалкие попытки подловить меня сходимости интеграла чего стоят. Про сходимость интеграла вы еще знаете. Понимаю. Очевидно длительный пед стаж. по матану. А тут задачка не из Демидовича. Да еще и уважение не оказали. РЖУНИМАГУ

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 10:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Тарелкин писал(а):
я же привел вам пример
Тарелкин в сообщении #197508 писал(а):
$f(t,x)=(1+\cos t)e^{x^3}$

почему это функция
$(1+\cos t)e^{x^3}-(1+\cos t)$
ewert в сообщении #197640 писал(а):
удовлетворяет прежним требованиям

?

Вы не мне этот пример приводили. Читайте внимательнее.

Какие требования нарушились? Непрерывность? Локальная липшицевость? монотонность по иксам? Ограниченность по $t$ при каждом $x$? (Кстати, эти требования сильно избыточны.)

Тарелкин писал(а):
РЖУНИМАГУ

Вредно быть столь жизнерадостным -- это мешает состредоточенности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 11:12 


22/03/09
7
ewert в сообщении #197710 писал(а):
Какие требования нарушились?

функция f неограничена по x ,поэтому вы даже не знаете будут ли все решения бесконечно продолжаемы вправо.
Если ограниченных решений нет, то ваши множества
ewert в сообщении #197640 писал(а):
$M_t=\left\{C:\;\max\limits_{s\in[0;t]}|x(C,s)|\leqslant1\right\}.$

будут пустыми начиная с достаточно больших t.
поэтому утверждение
ewert в сообщении #197640 писал(а):
$M_{\infty}\equiv\bigcap\limits_{t\in[0;\infty)}M_t\neq\varnothing.$

непонятно откуда взялось,
как это вы верно заметили
ewert в сообщении #197710 писал(а):
Вредно быть столь жизнерадостным -- это мешает состредоточенности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 11:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Тарелкин писал(а):
вы даже не знаете будут ли все решения бесконечно продолжаемы вправо, и не зная этого пишите такие формулы:
ewert в сообщении #197640 писал(а):
Пусть $M_t=\left\{C:\;\max\limits_{s\in[0;t]}|x(C,s)|\leqslant1\right\}.$ Эти множества замкнуты, не пусты при всех $t$ и ограничены (они заведомо содержатся в промежутке $[-1;\;1].$) Кроме того, они убывают, поэтому $M_{\infty}\equiv\bigcap\limits_{t\in[0;\infty)}M_t\neq\varnothing.$ Вот любая из $C\in M_{\infty}$ и даст ограниченное решение.

Даже если $x(t)$ не ограничено, то $M_t$ будет пустым при достаточно большом $t$.

Подсказка: если точка $(t_0,x_0)$ лежит в полосе $\left\{t\in[0;+\infty),x\in[-1;1]\right\}$, то проходящая через неё интегральная кривая не выйдет за пределы этой полосы при движении влево (вправо -- может выйти, но это уже не существенно). Выводы делайте сами.

Другой вопрос, что я малость перестарался и "в действительности всё проще, чем на самом деле". В качестве $M_t$ вполне достаточно брать $\left\{C:\;|x(C,t)|\leqslant1\right\}$ -- эти множества уже убывают.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 11:36 


22/03/09
7
ewert в сообщении #197717 писал(а):
если точка $(t_0,x_0)$ лежит в полосе $\left\{t\in[0;+\infty),x\in[-1;1]\right\}$, то проходящая через неё интегральная кривая не выйдет за пределы этой полосы при движении влево (вправо -- может выйти, но это уже не существенно).

Да это решение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2009, 11:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А теперь уберите из формулировки заведомо избыточные требования.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group