Помогите доказать неравенство

[ROMIK]

$x^2+y^2+z^2 \geqslant xy+xz+yz$

[bubu gaga]

на 2 помножьте обе части, станет понятнее

[ASA]

$x^2+y^2\geqslant 2xy$. Аналогично для пар $x,z$ и $y,z$. Дальше очевидно.

[ewert]

Перепишите в виде $(x+y+z)^2\geqslant3(xy+yz+xz)$, положите $x+y+z\equiv1$, подставьте $z=1-x-y$ в правую часть и найдите максимум полученной функции двух переменных в треугольнике $\{x\geqslant0,\;y\geqslant0,\;x+y\leqslant1\}$.

bubu gaga в сообщении #197568 писал(а):

на 2 помножьте обе части, станет понятнее

Да, так проще: $3(x^2+y^2+z^2)\geqslant(x+y+z)^2$, что уже достаточно очевидно.

[ASA]

ewert писал(а):

Перепишите в виде $(x+y+z)^2\geqslant3(xy+yz+xz)$, положите $x+y+z\equiv1$, подставьте $z=1-x-y$ в правую часть и найдите максимум полученной функции двух переменных в треугольнике $\{x\geqslant0,\;y\geqslant0,\;x+y\leqslant1\}$.

Да-с. Из пушки по воробьям.