2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Помогите доказать неравенство
Сообщение22.03.2009, 21:16 
$x^2+y^2+z^2 \geqslant xy+xz+yz$

 
 
 
 
Сообщение22.03.2009, 21:19 
Аватара пользователя
на 2 помножьте обе части, станет понятнее

 
 
 
 
Сообщение22.03.2009, 21:28 
$x^2+y^2\geqslant 2xy$. Аналогично для пар $x,z$ и $y,z$. Дальше очевидно.

 
 
 
 
Сообщение22.03.2009, 21:40 
Перепишите в виде $(x+y+z)^2\geqslant3(xy+yz+xz)$, положите $x+y+z\equiv1$, подставьте $z=1-x-y$ в правую часть и найдите максимум полученной функции двух переменных в треугольнике $\{x\geqslant0,\;y\geqslant0,\;x+y\leqslant1\}$.
bubu gaga в сообщении #197568 писал(а):
на 2 помножьте обе части, станет понятнее

Да, так проще: $3(x^2+y^2+z^2)\geqslant(x+y+z)^2$, что уже достаточно очевидно.

 
 
 
 
Сообщение22.03.2009, 21:44 
ewert писал(а):
Перепишите в виде $(x+y+z)^2\geqslant3(xy+yz+xz)$, положите $x+y+z\equiv1$, подставьте $z=1-x-y$ в правую часть и найдите максимум полученной функции двух переменных в треугольнике $\{x\geqslant0,\;y\geqslant0,\;x+y\leqslant1\}$.

Да-с. Из пушки по воробьям. :)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group