Доказать неравенство (оценка интеграла)

[Mat1]

Подскажите, пожалуйста, с чего лучше начать.

$$0.03<\int_0^1 \frac{x^7}{(e^{x}+e^{-x}) \sqrt{1+x^2}}\,dx<0.05$$

Я думал, что может преобразовать функцию к $y=\frac{x^7}{2chx \sqrt{1+x^2}}$ и может рассматривать ее. Наибольшее и наименьшее значения на данном отрезке:
$\frac{x^7}{2\sqrt{2}chx}$<$\frac{x^7}{2chx \sqrt{1+x^2}}$<$\frac{x^7}{2chx}$. Но вот врятли получится доказать, что исходный интеграл больше $0,03$

[Brukvalub]

Попробуйте применить ф-лу Боне: http://www.pm298.ru/ointegral2.php или какие-либо т. о среднем, предварительно измельчив участок интегрирования.

[ewert]

Я бы обратил внимание на то, что график косинуса довольно похож на график корня. Т.е. отношение $$\ch x\over\sqrt{1+x^2}}$ не очень сильно на этом промежутке отличается от двойки. А после замены косинуса на удвоенный корень интеграл уже легко берётся. Наверное, это должно помочь.

[gris]

А что если один раз косинус на корень заменить, а потом корень на косинус? Ведь корень больше коснуса. В первом случае может получиться правое неравенство, во втором левое?

[ewert]

Нет, гиперболический косинус, наоборот, больше корня. Но не очень намного -- относительная погрешность не превышает 1/6.

Если я не напутал в вычислениях, то этот интеграл лежит в пределах от 0.03 до 0.035. Поскольку после замены косинуса на корень интеграл получается равным ${5\over24}-{\ln2\over4}=0.0350465...$