Решим уравнение

[Виктор Ширшов]

В «Началах» Евклида есть простенькое уравнение $y^2 = a\cdot x + 1$, которое он долгое время исследовал. Вероятно, александриец его решения не нашёл, так как им позднее занялся сиракузец Архимед. Желая проверить, имеют ли александрийские математики общий метод решения этого уравнения, он предложил им задачу о «быках», которая сводилась к решению уравнения при произвольном коэффициенте α=4729494, прекрасно понимая, что простым подбором решить такую задачу практически невозможно. Сам Архимед с ней справился, иначе не устроил бы пир для сограждан своего города, пожертвовав на эти цели 100 быков.
К сожалению, своего решения он не опубликовал, либо оно не сохранилось, и Диофанту пришлось заниматься им заново. В его «Арифметике» рассмотрено два случая, когда α =26 и 30. Диофант даёт наименьшие значения x и y для них, судя по всему, найденные путём подбора, так как общего метода решения уравнения в его книге нет.
Прошло более тринадцати столетий, и за Евклидово уравнение взялся Пьер Ферма, который решил его.
В XVII веке уравнение Евклида стало поводом для развязывания «математической» войны между французскими и английскими математиками, потребовавшей не крови, а напряжения ума. В первом вызове П. Ферма Джону Валлису, последний защитил достоинство английской науки, найдя наименьшие значения неизвестных в уравнении $y^2 = a\cdot x +1$. Найти наименьшие значения неизвестных x и y, значит иметь в виду, что общее количество решений бесконечно или их как минимум два.
В своём знаменитом втором «вызове» английским математикам в феврале 1657 года Ферма предложил им решить уравнение $y^2= a\cdot x + 1$ с коэффициентами α= 109, 149, 433, когда простой подбор чисел x и y невозможен, как и в задаче Архимеда, хотя цифры не столь и велики. Англичанам надлежало найти общий (регулярный) метод решения Евклидова уравнения, которым к тому времени сам Ферма уже располагал. Он закончил свой вызов следующими словами: «Я жду решения этих вопросов, если оно не будет дано ни Англией, ни Бельгийской, ни Кельтской Галлией, то оно будет сделано Нарбоннской Галлией».
Английские математики не смогли решить Евклидово уравнение, несмотря на то, что им занимались Д. Валлис, Д. Пелл. В полемику оказался втянутым первый президент Лондонского Королевского общества лорд У. Броункер. Будучи большим «любителем дробей», он пришёл к мысли, что α следует разложить в неправильную дробь и рассмотреть подходящие дроби к уравнению Евклида. Эйлер, идя ложным путём доказал, что дробь, если a - целое и не квадратное число будет периодической. Искали решение Евклидова уравнения многие известные математики, но безрезультатно.

P.S. Один Заслуженный участник, большой любитель простых чисел, не смог найти регулярного решения. Может быть, другие смогут это сделать.

[Руст]

Задача то очевидная найти минимальное натуральное y>1, что $a|(y-1)(y+1)$, соответственно $y=1\mod a_1, y=-1\mod a_2, a=a_1a_2, (a_1,a_2)\le 2$. Это позволяет построит простой алгоритм для нахождения решения путём факторизации числа а. Количества переборов не больше $2^k$, где k количество простых делителей числа а. Только вам этого не понять.

[bot]

Виктор Ширшов, Вы бы хотя бы цитировали правильно - утерян квадратик над $x$. Речь идёт, очевидно, об уравнении Пелля, решение которого принадлежит Лагранжу, а Эйлер по недоразумению (или по злому умыслу) приписал его Пеллю.
Решение осуществляется с помощью цепных дробей, но это не про Вас.

[Brukvalub]

Это бедняга Виктор Ширшов фантастики: http://virlib.ru/read/1/00141/35.html начитался, вот его теперь и колбасит
Он думает, что он один копировать и вставлять текст недавно научился, а другие тут такие же неучи, как и он.
Вынужден вас, Виктор Ширшов, разочаровать.
"Вышли мы все из народа
Дети семьи трудовой..."
Но некоторые из нас еще и из невежества не забыли выйти, а вот вы,
Виктор Ширшов, забыли из него выйти, "самый народный участник" вы наш.
Вас стоит сохранить на форуме как ЭТАЛОН невежества и дремучести!

Даже в силе тяжести, как не смог Виктор Ширшов с седьмого класса разобраться, так и сейчас никак ниАсилит

[Руст]

bot писал(а):

Виктор Ширшов, Вы бы хотя бы цитировали правильно - утерян квадратик над $x$. Речь идёт, очевидно, об уравнении Пелля, решение которого принадлежит Лагранжу, а Эйлер по недоразумению (или по злому умыслу) приписал его Пеллю.
Решение осуществляется с помощью цепных дробей, но это не про Вас.

Да, я в истории математики ничего не смыслю. Я и не думал, что во времена Архимеда решали уравнение Пелля, более интересное, чем задача, приведённая нашим автором. С точки зрения теории чисел задача на вычисление основной единицы в кольце $Z[\sqrt a ]$ и всем известная, кроме может нашего народного математика.

[Виктор Ширшов]

bot в сообщении #197333 писал(а):

Виктор Ширшов, Вы бы хотя бы цитировали правильно - утерян квадратик над . Речь идёт, очевидно, об уравнении Пелля, решение которого принадлежит Лагранжу, а Эйлер по недоразумению (или по злому умыслу) приписал его Пеллю.

Это у Пелля $x^2$, а у Евклида просто x. Пусть даже я неправильно процитировал, разве в таком виде оно не может решаться.

Brukvalub в сообщении #197340 писал(а):

Это бедняга Виктор Ширшов фантастики: http://virlib.ru/read/1/00141/35.html начитался, вот его теперь и колбасит
Он думает, что он один копировать и вставлять текст недавно научился, а другие тут такие же неучи, как и он.
Вынужден вас, Виктор Ширшов, разочаровать.
"Вышли мы все из народа
Дети семьи трудовой..."

.
Тогда чем объяснить Ваш негатив к народным участникам? Вроде бы у Вас всё нормально, какой-никакой, а доцент кафедры математики. Наверное, Вы обижены потому, то в наших "дремучих умах" рождаются темы, а в Вашей нет. Или виновница Вашему негативу женщина? Французский профессор Бержере,потрясённый неверностью жены, обиделся на весь белый свет, сказавши, что «органическая жизнь – зло, присущее только нашей гаденькой планете».

[Батороев]

Виктор Ширшов писал(а):

bot в сообщении #197333 писал(а):

Виктор Ширшов, Вы бы хотя бы цитировали правильно - утерян квадратик над . Речь идёт, очевидно, об уравнении Пелля, решение которого принадлежит Лагранжу, а Эйлер по недоразумению (или по злому умыслу) приписал его Пеллю.

Это у Пелля $x^2$, а у Евклида просто x. Пусть даже я неправильно процитировал, разве в таком виде оно не может решаться.

В таком виде при простом $a$ минимальное решение: $ x = a -2 $.

[Виктор Ширшов]

Виктор Ширшов в сообщении #197395 писал(а):

Это у Пелля , а у Евклида просто x. Пусть даже я неправильно процитировал, разве в таком виде оно не может решаться.

Батороев в сообщении #197692 писал(а):

В таком виде при простом минимальное решение:

Да.

Добавлено спустя 22 минуты 55 секунд:

Батороев в сообщении #197692 писал(а):

Для уравнения Пелля , как мне кажется, интересно рассмотреть эквивалентное уравнение: , где .
Например, для , принимая - нечетные, решение найдется на 13-м шаге.

/
Уравнение Пелла, как мне кажется, в целых числах x,y решается только уравнением Ферма вида $y^2= 4 $α$+1$, т. е. приняв х=2 и α=2,6,12,20,31,42,....

Добавлено спустя 27 минут 7 секунд:

Для уравнения Пелла выявляются интересные закономерности, если рассматривать следующие тройки чисел:

y=1 a=2 x=0
y=2 a=3 x=1
y=3 a=4 $x=\sqrt2$
y=4 a=5 $x=\sqrt3$
y=5 a=6 x=2
y=6 a=7 $x=\sqrt5$
y=7 a=8 $x=\sqrt6$
y=8 a=9 $x=\sqrt7$
y=9 a=10 $x=\sqrt8$
y=10 a=11 x=3

[bot]

Виктор Ширшов писал(а):

Это у Пелля $x^2$, а у Евклида просто x.

Сомнительно, чтобы Евклид интересовался решением этой простой задачи (без квадрата над x). Достаточно всего лишь решить сравнение $y^2\equiv 1 \pmod a$. Для этого факторизуем $a$ и решаем по примарным модулям, далее пользуемся китайской теоремой об остатках. Это совсем простая рутина, не представляющего никакого интереса. Получится конечное число серий, охватывающих все решения. Число серий для нечётного $a$ будет равно $2^k$, где $k$ - число примарных множителей. Чётный множитель $2^s$ увеличит число серий в $\min\{4, 2^{s-1}\}$ раз.
В простейшем случае, когда $a$ нечётное простое, имеем две серии:
$x=at^2+2t, \, y=at+1$ и $x=at^2-2t, \, y=at-1$, $t\in \mathbb Z$.
А вот задача о быках действительно простояла до Лагранжа и вошла в анналы под названием уравнения Пелля - квадрат над x там есть.
А цитировали Вы явно неправильно - либо сами переврали текст, либо списывали у такого же грамотея. Проверять надоть, прежде чем первый попавшийся на глаза источник цитировать. Это ж надо, бу-га-га - "подходящие дроби к уравнению Евклида", это что-то из серии интегралов сходящихся и расходящихся, первые сходятся с ответом, а вторые - нет. Да будет Вам известно, что речь здесь совсем о других дробях - не тех, которые бывают правильными и неправильными.

Виктор Ширшов в сообщении #197705 писал(а):

Для уравнения Пелла выявляются интересные закономерности ...

Уравнение Пелля представляет интерес только как учебная задача - известно как находится минимальное решение и как из него вырастают все остальные.

Цель открытия темы мне совершенно прозрачна - Вы хотели не только блеснуть эрудицией, но и подколоть местных участников, а получилось как всегда. Моя тёща (царствие ей небесное) о подобном конфузе ещё краше говорила - если пожелаете, могу в ЛС написать.

[Виктор Ширшов]

bot в сообщении #197790 писал(а):

В простейшем случае, когда нечётное простое, имеем две серии:
и , .

В простейшем виде для уравнения $y^2= a \cdot x +1$ при любых α , а не только чётных числах, имеем наменьшее значение $x=a-2$, а наименьшее $y=a-1$, которые получаются после замены $a\cdot x$ на $a^2 - 2\cdot a$, т. е. уравнение $y^2= a\cdot x +1$ следует привести к виду $y^2= a^2 -2a +1$ или $y^2=(a-1)^2$.

[bot]

Виктор Ширшов писал(а):

bot в сообщении #197790 писал(а):

В простейшем случае, когда нечётное простое, имеем две серии:
и , .

В простейшем виде для уравнения $y^2= a \cdot x +1$ при любых α , а не только чётных числах, имеем наменьшее значение $x=a-2$, а наименьшее $y=a-1$, которые получаются после замены $a\cdot x$ на $a^2 - 2\cdot a$, т. е. уравнение $y^2= a\cdot x +1$ следует привести к виду $y^2= a^2 -2a +1$ или $y^2=(a-1)^2$.

Контрпримеры $y^2=8x+1, \, y^2=15x+1$. Минимальные решение в каждом из них найдите сами. И вообще мне кажется, что тема плавно перешла в качество "помогите решить/разобраться". Может быть её туда и перенести. О чём тут ещё дискутировать?

[PAV]

PAV:

Тема закрыта. Несколько Заслуженных участников уже высказали свое мнение, а также показали, как должна решаться указанная задача. На мой взгляд, этого вполне достаточно. Я согласен с мнением bot'а об истинной цели открытия автором данной темы, поэтому смысла переносить обсуждение в раздел "Помогите решить" не вижу.