Уравнение с параметром (ЕГЭ)

[ShMaxG]

Полосин
Да, ошибку признаю. Уже в какой раз неправильно рисую рисунок, что приводит к неправильным результатам.

[gris]

Перенесём всё в левую часть.
При $a=0$ уравнение линейно и имеет один корень.

При $a\neq 0$ функция непрерывна и даже дифференцируема везде кроме, возможно, 0. При любом $a$ при достаточно больших по модулю $x$ функция положительна. Она достигает своего минимума. Если этот минимум больше 0, то уравнение не имеет ни одного решения. Если этом минимум меньше нуля (достаточно даже, чтобы в какой-нибудь точке функция была бы отрицательна) то имеем больше одного корня.

Уравнение будет иметь единственный корень, если единственный минимум функции будет равен 0.

[Ilnur]

Все еще решаю уравнение
$2^{|ax|}+a|x|=a^2-x$
при $x<0$, $-1<a<1$, $a\neq 0$. (остальные случае графический легко получаются)

В данном случае уравнение принимает вид
$2^{-|a|x}-ax=a^2-x$ или $2^{-|a|x}=a^2-(1-a)x$.

Функции $y=2^{-|a|x}$ и $y=a^2-(1-a)x$ либо не пересекаются, либо касаются, либо пересекаются в двух точках. Уравнение имеет единственное решение если прямая $y=a^2-(1-a)x$ будет касаться функции $y=2^{-|a|x}$. Следовательно,
$-|a|2^{-|a|x}\ln2=-(1-a)$.

Таким образом, пришел к системе
$ \left\{ \begin{array}{l} 2^{-|a|x}=a^2-(1-a)x,\\ -|a|2^{-|a|x}\ln2=-(1-a), \end{array} \right. $
при $x<0$, $-1<a<1$, $a\neq 0$.

Данная система ничем не лучше данного уравнения... Подскажите пожалуйста, может иду не в правильном направлении?

[мат-ламер]

Интересно, какие у кого ответы получаются? У меня получилось три решения - 0, 1 и 0.36 (примерно).

[Ilnur]

мат-ламер писал(а):

Интересно, какие у кого ответы получаются? У меня получилось три решения - 0, 1 и 0.36 (примерно).

Первые два ответа у меня тоже получаются, а вот последний случай никак....

[мат-ламер]

Собственно, я не решал, а графики построил в MAPLE. При a меньшим некоторого критического значения (около 0.36) получается два отрицательных корня. При большим - корней нет (до a = 1). Критическое значение, наверное, можно найти приближёнными методами (типа Ньютона), если прямо не получается, но я не пробовал. А, интересно, сколько таких задач надо решить на ЕГЭ? (У меня тут возникли трудности с тэгом Math. Прошу извинить.)

[Ilnur]

мат-ламер писал(а):

Собственно, я не решал, а графики построил в MAPLE. При a меньшим некоторого критического значения (около 0.36) получается два отрицательных корня. При большим - корней нет (до a = 1). Критическое значение, наверное, можно найти приближёнными методами (типа Ньютона), если прямо не получается, но я не пробовал. А, интересно, сколько таких задач надо решить на ЕГЭ? (У меня тут возникли трудности с тэгом Math. Прошу извинить.)

Это задание из С... Если не ошибаюсь, такие обычно бывает в каждом варианте только один.