система теоретико-множественных уравнений

[Евгеша]

Доброго времени суток!
Подскажите, пожалуйста, как решать системы теоретико-множественных уравнений на подобие этой:

$ \left\{ \begin{array}{l} A \cap X = \overline{X}\cap B,\\ X \cap \overline{A} = C \cup X, \end{array} \right. $

($X$ - неизвестное)

Заранее спасибо.

[Xaositect]

А $\overline{X}$ - это дополнение?
--- Здесь была лажа ---
А вообще, можно каждому множеству сопоставить предикат $P_A(x)\equiv (x\in A)$, составить логическую формулу, посмотреть, когда она верна.

[Dandan]

Почему это первое противоречиво? Еще и очевидно?
Из первого следует, что $A \subset \overline{X}, B \subset X$, т.е. X покрывает B, но не трогает A. Из второго следует, что X покрывает C.

[Xaositect]

Dandan в сообщении #196092 писал(а):

Почему это первое противоречиво? Еще и очевидно? Laughing

$A\cap X \subseteq X$
$B\cap \overline{X} \subseteq \overline{X}$
$X\cap \overline{X} = \emptyset$

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

Да, я ошибся.

[Dandan]

не ну если пересечение A и B не пусто, то да, противоречиво

[Лиля]

Обозначем $M$ -основное множество (не знаю как точно на руском одним словом такое что $A \cup \overline{A}=M$) тогда имеем:
$X \cap \overline{A} = C \cup X $
откуда
$(X \cap \overline{A})\cup\overline{X} = \underbrace{C \cup \underbrace{X \cup\overline{X}}_{=M}}_{=M} $
таким образом получаем
$\underbrace{(X\cup\overline{X})}_{=M}\cap(\overline{A}\cup\overline{X})=M$
отсюда видно что
$(\overline{A}\cup\overline{X})=M$
а значит $A\cap X = \emptyset$

тогда получаеться что
$X \cap \overline{A}\subset X$ , или же
$X \cap \overline{A}\subset \overline{A}$ ,

Однако учитывая что
$X \cap \overline{A}\subset X\subset C\cup X$ и с другой стороны

$$X \cap \overline{A}\supset C\cup X$$

получаем что $C\subset X$
и $X=\overline{A}$ так чтоль?:roll:
мож у меня где ошибка ?
какой то дополнительной информации извлеч из 1го уровнения я не смогла

[Архипов]

Похоже на то, что Х может иметь значение 0 либо 1, то есть не ограничено условиями.

[ASA]

Лиля писал(а):

Обозначем $M$ -основное множество (не знаю как точно на руском одним словом такое что $A \cup \overline{A}=M$)

Универсальное множество.

Добавлено спустя 1 час 52 минуты 53 секунды:

Лиля писал(а):

Однако учитывая что
$X \cap \overline{A}\subset X\subset C\cup X$ и с другой стороны

$$X \cap \overline{A}\supset C\cup X$$

получаем что $C\subset X$
и $X=\overline{A}$ так чтоль?:roll:

Нет. Пока только $X\subset \overline{A}$.

Добавлено спустя 4 минуты 16 секунд:

Что, впрочем, следует из

Лиля писал(а):

$A\cap X = \emptyset$

[ewert]

Евгеша писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} A \cap X = \overline{X}\cap B,\\ X \cap \overline{A} = C \cup X, \end{array} \right. $

Короче: $B\subset X\subset C$ (вложения, естественно, нестрогие), причём $A \cap X = \nothing$, и -- всё, больше никакой ниформации тут не содержится.

[ASA]

ewert писал(а):

Евгеша писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} A \cap X = \overline{X}\cap B,\\ X \cap \overline{A} = C \cup X, \end{array} \right. $

Короче: $B\subset X\subset C$ (вложения, естественно, нестрогие), причём $A \cap X = \nothing$, и -- всё, больше никакой ниформации тут не содержится.

Ошибочка. Правильно $C\subset X$.

Dandan писал(а):

Из первого следует, что $A \subset \overline{X}, B \subset X$, т.е. X покрывает B, но не трогает A. Из второго следует, что X покрывает C.

Короче, ответ: такое множество $X$, что
$B\cup C\subset X\subset \overline{A}$.

[ewert]

ASA писал(а):

Ошибочка. Правильно $C\subset X$.

Да, я шапочку в правой части перепутал.

[Лиля]

ASA в сообщении #196157 писал(а):

Нет. Пока только $X\subset \overline{A}$.

нет при
$X \cap \overline{A}\subset X$ получаеться строже $X=\overline{A}$

[ewert]

Лиля писал(а):

ASA в сообщении #196157 писал(а):

Нет. Пока только $X\subset \overline{A}$.

нет при
$X \cap \overline{A}\subset X$ получаеться строже $X=\overline{A}$

$X \cap \overline{A}\subset X$ всегда, т.е. из этого ничего вообще не получается

[Лиля]

ASA в сообщении #196157 писал(а):

Что, впрочем, следует из
Лиля писал(а):
$A\cap X = \emptyset$

нет, из этого следуют 2 варианта:
$\overline{A}\subset X$ или же $X \subset \overline{A}$


Добавлено спустя 3 минуты 31 секунду:

один из которых я и перепроверила

[ewert]

Лиля в сообщении #196222 писал(а):

один из которых я и перепроверила

и совершенно напрасно. $A\cap X=\nothing$ попросту равносильно $X\subset\overline A$ или, что то же, $A\subset\overline X.$