Фракталы и отсутствие производной у ф-ции

[druggist]

Для наглядности возьмем распределение массы М по оси Х. Как должна быть распределена масса, по оси, чтобы распределение было фрактальным? Функция плотности m(x) в этом случае не будет иметь производной? как это, что называется, "на пальцах" пояснить?

[Pi]

Смотри, например, множество Кантора на Википедии.
Конечно, фракталы в принципе не имеют производных.

[barga44]

imeyt, proizvodnie drobnogo poradka.

[AD]

druggist в сообщении #193708 писал(а):

Функция плотности m(x) в этом случае не будет иметь производной?

Ну плотности негладкие получаются и в куда более простых случаях. Скажем, равномерное распределение на отрезке ... Или просто берете любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию, и обзываете ее плотностью ...

[druggist]

AD писал(а):

druggist в сообщении #193708 писал(а):

Функция плотности m(x) в этом случае не будет иметь производной?

Ну плотности негладкие получаются и в куда более простых случаях. Скажем, равномерное распределение на отрезке ... Или просто берете любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию, и обзываете ее плотностью ...

Мне не хотелось бы рассматривать непрерывный отрезок. Для конкретности пусть будет М частиц, шаров и,т.д., которые можно разместить по N местам, корзинам и пр. При этом даже не надо, чтобы они(корзины) равномерно располагались по оси х, достаточно того, что их можно было перенумеровать. Пусть m(i) - размер i-той кучки, или число частиц m в состоянии i, плотность есть отношение дельта M к дельта i, число частиц, заключенных в корзинках под номерами от i до i+дельта i . Правильно ли я понимаю ситуацию: если для любого i дельта M линейно зависит от дельта i , то имеем однородное распределение с постоянной плотностью, а если не линейно имеем фрактальное распределение?

[Pi]

Производная в принципе определена только для непрерывных прастранств.
Для дискретных пространств понятия гладкости как таковой не существует. По теореме Веерштрасса через дискретные точки можно всегда провести всюду гладкий полином. Поэтому, для дискретного случая с фиксированным дискретным шагом понятия фрактала не существует.

[GAA]

открывая тему, druggist писал(а):

Для наглядности возьмем распределение массы М по оси Х. Как должна быть распределена масса, по оси, чтобы распределение было фрактальным? Функция плотности m(x) в этом случае не будет иметь производной? как это, что называется, "на пальцах" пояснить?

Как уже отмечал AD, исходная формулировка вопроса в темы некорректна. Более корректная формулировка получится, если вместо
«Функция плотности m(x) в этом случае не будет иметь производной?»,
записать
«Функция распределения массы $M(x)$ в этом случае не будет иметь плотность?».

Постараюсь «ответить» на так поставленный вопрос.

1. Как уже было отмечено выше, интересующее распределение массы связано с понятием Канторового множества. Научно-популярное изложение построения распределения массы, не имеющего плотность, приводится в [1, c.73].

Цитата:

Будем считать затравкой не единичный отрезок, а стержень из какого-нибудь материала с плотностью $\rho_0 = 1$. Исходный стержень имеет длину $l_0 =1$, и, следовательно, массу $\mu_0=1$. Операция, связывания с применением образующего элемента, состоит из разрезания стержня на две половины равной массы $\mu_1=\mu_2=1/2$, которые затем в результате ковки укорачиваются до длины $l_1=1/3$ (одинаковой для обеих половинок). В результате такой обработки плотность возрастает до $\rho_1=3/2$. Повторяя всю процедуру, мы получим в n-ом поколении $N=2^n$ маленьких стержней, каждый из которых имеет длину $l_i = 3^{-n}$ и массу $\mu_i=2^{-n}$ при $i=1, \ldots, N$. Заметим, что масса в ходе обработки сохраняется, поэтому $\sum_1^N \mu_i =1$
…
Из сказанного следует, что масса отрезка длиной $l_i$, где $l_i \le \delta$ определяется выражением $\mu_i = l_i^{\alpha}$.
Скейлинговый показатель здесь равен $\alpha = \ln 2 / \ln 3$. Плотность каждого из малых отрезков стержня определяется выражением
$\rho_i = \mu_i /l_i = \rho_0 l_i^{\alpha -1}$
и расходится при $l_i \to 0$.

2. По поводу желания рассмотреть явление на простом примере конечного множества точек.

Цитата:

Мне не хотелось бы рассматривать непрерывный отрезок. Для конкретности пусть будет М частиц, шаров и,т.д., которые можно разместить по N местам, корзинам и пр. При этом даже не надо, чтобы они(корзины) равномерно располагались по оси х, достаточно того, что их можно было перенумеровать. Пусть m(i) - размер i-той кучки, или число частиц m в состоянии i, плотность есть отношение дельта M к дельта i, число частиц, заключенных в корзинках под номерами от i до i+дельта i . Правильно ли я понимаю ситуацию: если для любого i дельта M линейно зависит от дельта i , то имеем однородное распределение с постоянной плотностью, а если не линейно имеем фрактальное распределение?

В этом случае функция распределение массы будет предсталять «ступечатую» функцию: $M(x) = \sum m_i I(x_i < x)$,
где индикатор $I (x_i< x)$ определяется так: $I (x_< x) = \left\{\begin{array}{l} 0, \quad x < 0, \\ 1, \quad x \ge 0. \end{array} \right$. [Такая функция распределения массы, $M(x)$, испытывает скачки величиной $m_i$ в точках $x_i$.] Для дискретного случая также нельзя ввести плотность. Т.е. не найдется такой функции $m(x)$, что $M(x) = \int_0^1 m(t)dt$. Кроме того, множество изолированных точек, которым Вы приписываете, массы $m_i$ имеет топологическую размерность равную нулю и размерность Хаусдорфа—Безиковича равную нулю, а фрактал — это множество, у которого размерность Хаусдорфа—Безиковича строго больше его топологической размерности. Т.е. конечное множество точек в качестве иллюстрации отсутсвия у фрактала плотности — заведомо не годится.

Ref.
[1] Федер Е. Фракталы. — М.: Мир, 1991.