В группе матриц (2х2) найти подгруппу, изоморфную Z[4].

[Mcicool]

Найти в группе невырожденных матриц (2х) по умножению с коэффициентами из $R$ подгруппу, изоморфную $Z[4]$.

Помогите пожалуйста решить.

[Руст]

1. Какая исходная группа $GL(2)$?
2. Что за группа $Z(4)$?
Если под этим понимаете $Z^4=Z+Z+Z+Z$ то скорее всего вы не правы.

[sniffer]

Я всётаки думаю что $GL(2,R)$...
$Z[4]$ это

\[ (\mathbb{Z}_4 , + (\bmod 4)) \]

?
Если так то это не должно быть очень сложно
(если конечно возможно). На самом деле это
вообще не сложно если взять

\[ GL_2 (\mathbb{C}) \]

.
Легко начят с того что:

\[ I \to 0 \]

Если взять:

\[ A \to 2 \]

Тогда:

\[ A^2 = I \]

, где

\[ A = \left( {\begin{array}{*{20}c} a & b \\ c & d \\ \end{array} } \right) \]

Я думаю что помимо разных тривиальных решений
стоит задержатса на:

\[ A = \left( {\begin{array}{*{20}c} a & {\frac{{1 - a^2 }} {c}} \\ c & { - a} \\ \end{array} } \right) \]

Это для собственого интереса потому что тогда:

\[ \left| B \right| = i \]

, что не подходит для тебя.
Продолжим:

\[ B \to 1 \]

И тогда:

\[ B^2 = A \]

Вот здесь начнутса комплексные...
Но на самом деле когда ты найдёш

\[ B \]

, тогда ты ужэ решил задачу, потому что:

\[ A*B = B*A = B^3 \to 3 \]

, и на этом твои муки закончутса.
Кстати четыре важных факта (заметь):
Если назвать твою подгрупу

\[ G \]

, тогда

\[ G < ( \pm iSL_2 (\mathbb{C}))*( \pm SL_2 (\mathbb{C})) \]

(можэт для этого есть короткая запись).

\[ Z(G) = G \]

\[ B^3 = B^{ - 1} \]

И такжэ (что самое важное для тебя):

\[ BAB^{ - 1} = A \]

(это даст тебе направление...)

Позволь привести пример для

\[ ( \pm iSL_2 (\mathbb{C}))*( \pm SL_2 (\mathbb{C})) \]

\[ \begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 2 & { - 1} \\ \end{array} } \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ {1 - i} & i \\ \end{array} } \right),B^3 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ {1 + i} & -i \\ \end{array} } \right) \hfill \\ A \to 2,B \to 1,B^3 \to 3,I \to 0 \hfill \\ \begin{array}{*{20}c} * &\vline & I & B & A & {B^3 } \\ \hline I &\vline & I & B & A & {B^3 } \\ B &\vline & B & A & {B^3 } & I \\ A &\vline & A & {B^3 } & I & B \\ {B^3 } &\vline & {B^3 } & I & B & A \\ \end{array} \underset{{\varphi ^{ - 1} _{(x)} }}{\overset{{\varphi _{(X)} }}{\longleftrightarrow}}\begin{array}{*{20}c} + &\vline & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 &\vline & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 &\vline & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 &\vline & 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 &\vline & 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]

[Руст]

Пусть $A$ образующая этой группы. Над комплексными числами приводим к Жордановой форме. Убеждаемся, что эта форма диагональна и собственные числа $i$ и $-i$ (если оба одинаковые, то не принадлежит $GL(2,R)$. Матрица с такими собственными числами соответствует повороту на $90$ градусов и принадлежит $SL(2,R)$. Таким образом любая такая подгруппа принадлежит $SL(2,R)$ и образована элементом: $A=CBC^{-1},B=(\frac{0}{-1} \frac{1}{0}).$