2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 В группе матриц (2х2) найти подгруппу, изоморфную Z[4].
Сообщение14.05.2006, 20:21 
Найти в группе невырожденных матриц (2х) по умножению с коэффициентами из $R$ подгруппу, изоморфную $Z[4]$.

Помогите пожалуйста решить.

 
 
 
 
Сообщение14.05.2006, 21:05 
1. Какая исходная группа $GL(2)$?
2. Что за группа $Z(4)$?
Если под этим понимаете $Z^4=Z+Z+Z+Z$ то скорее всего вы не правы.

 
 
 
 
Сообщение15.05.2006, 05:52 
Я всётаки думаю что $GL(2,R)$...
$Z[4]$ это \[
(\mathbb{Z}_4 , + (\bmod 4))
\] ?
Если так то это не должно быть очень сложно
(если конечно возможно). На самом деле это
вообще не сложно если взять \[
GL_2 (\mathbb{C})
\].
Легко начят с того что: \[
I \to 0
\]
Если взять: \[
A \to 2
\]
Тогда: \[
A^2  = I
\], где \[
A = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   a & b  \\
   c & d  \\

 \end{array} } \right)
\]
Я думаю что помимо разных тривиальных решений
стоит задержатса на: \[
A = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   a & {\frac{{1 - a^2 }}
{c}}  \\
   c & { - a}  \\

 \end{array} } \right)
\]
Это для собственого интереса потому что тогда: \[
\left| B \right| = i
\], что не подходит для тебя.
Продолжим: \[
B \to 1
\]
И тогда: \[
B^2  = A
\]
Вот здесь начнутса комплексные...
Но на самом деле когда ты найдёш \[
B
\], тогда ты ужэ решил задачу, потому что:
\[
A*B = B*A = B^3  \to 3
\], и на этом твои муки закончутса.
Кстати четыре важных факта (заметь):
Если назвать твою подгрупу \[
G
\], тогда \[
G < ( \pm iSL_2 (\mathbb{C}))*( \pm SL_2 (\mathbb{C}))
\] (можэт для этого есть короткая запись).
\[
Z(G) = G
\]
\[
B^3  = B^{ - 1} 
\]
И такжэ (что самое важное для тебя): \[
BAB^{ - 1}  = A
\] (это даст тебе направление...)

Позволь привести пример для \[
( \pm iSL_2 (\mathbb{C}))*( \pm SL_2 (\mathbb{C}))
\]
\[
\begin{gathered}
  A = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0  \\
   2 & { - 1}  \\

 \end{array} } \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0  \\
   {1 - i} & i  \\

 \end{array} } \right),B^3  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0  \\
   {1 + i} & -i  \\

 \end{array} } \right) \hfill \\
  A \to 2,B \to 1,B^3  \to 3,I \to 0 \hfill \\
  \begin{array}{*{20}c}
   * &\vline &  I & B & A & {B^3 }  \\
\hline
   I &\vline &  I & B & A & {B^3 }  \\
   B &\vline &  B & A & {B^3 } & I  \\
   A &\vline &  A & {B^3 } & I & B  \\
   {B^3 } &\vline &  {B^3 } & I & B & A  \\

 \end{array} \underset{{\varphi ^{ - 1} _{(x)} }}{\overset{{\varphi _{(X)} }}{\longleftrightarrow}}\begin{array}{*{20}c}
    +  &\vline &  0 & 1 & 2 & 3  \\
\hline
   0 &\vline &  0 & 1 & 2 & 3  \\
   1 &\vline &  1 & 2 & 3 & 0  \\
   2 &\vline &  2 & 3 & 0 & 1  \\
   3 &\vline &  3 & 0 & 1 & 2  \\

 \end{array}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

 
 
 
 
Сообщение15.05.2006, 06:43 
Пусть $A$ образующая этой группы. Над комплексными числами приводим к Жордановой форме. Убеждаемся, что эта форма диагональна и собственные числа $i$ и $-i$ (если оба одинаковые, то не принадлежит $GL(2,R)$. Матрица с такими собственными числами соответствует повороту на $90$ градусов и принадлежит $SL(2,R)$. Таким образом любая такая подгруппа принадлежит $SL(2,R)$ и образована элементом: $A=CBC^{-1},B=(\frac{0}{-1} \frac{1}{0}).$

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group