Всюду плотное множество

[Руст]

Решение давно крутилось в голове, но было лень писать длинный пост.
Докажем следующую лемму.
Для непрерывной функции $f(x)$ следующие условия эквивалентны:
1)Существует такая точка $a_0$, что последовательность $a_{k+1}=f(a_k)$ всюду плотно в R.
2) $\forall y_1,y_2\in R, \forall \epsilon>0$ существует $k, y_3: |y_1-y_2|<\epsilon$, что $f^{(k)}(y_3)=y_2$.
Доказательство простое и из-за лени опускаю.
Легче всего проверять это свойство для кусочно линейной функции. Например определим
$f(3^k)=(-3)^k,k\in Z, f(-x)=x$. В остальных точках значение определим по линейной аппроксимации. Коэффициент наклона везде $\pm 2$. Тогда для этой функции там где определено $|f^{(k)}'(x)|=2^k$ и легко проверяется условие 2) леммы.

[Dandan]

Руст писал(а):

2) $\forall y_1,y_2\in R, \forall \epsilon>0$ существует $k, y_3: |y_1-y_2|<\epsilon$, что $f^{(k)}(y_3)=y_2$.

здесь имеется ввиду $|y_1-y_3|<\epsilon$ ? А то как-то не понятно зачем $y_1$ и $\epsilon$

[Руст]

Да. Из любой окрестности $y_1$ найдётся прообраз для $y_2$ для некоторого k.

[RamsesHawk]

Руст писал(а):

Например определим
$f(3^k)=(-3)^k,k\in Z, f(-x)=x$. В остальных точках значение определим по линейной аппроксимации. Коэффициент наклона везде $\pm 2$. Тогда для этой функции там где определено $|f^{(k)}'(x)|=2^k$ и легко проверяется условие 2) леммы.

Может быть Вы хотели сказать: $k \in \mathbb{N}\cup\{0\}$?

А как эта функция определена на $(0, 1)$?

Добавлено спустя 57 минут 33 секунды:

у такой непрерывной функции счётное число циклических точек конечного порядка, следовательно, в любой окрестности любой точки найдётся счётное число их прообразов... это не противоречит возможности существования такой непрерывной функции, но значительно "разрежает" множество возможных претендентов на плотность всюду, оставляя его, однако, равномощным континууму...

Добавлено спустя 1 час 53 минуты 53 секунды:

Руст, Ваш пост указал мне на некоторое моё упущение...
как это не прискорбно (для меня ), в моём "доказательстве" есть пробел... ведь существуют ещё множества прообразов точек начал ациклических последовательностей $A_{k}$ - $f^{-1}(a_{k,1})$ - они образуют третий возможный класс подмножеств $\mathbb{R}$... буду пытаться исправить упущенное... если это возможно, конечно... или доказать свою неправоту.

[Руст]

RamsesHawk писал(а):

Может быть Вы хотели сказать: $k \in \mathbb{N}\cup\{0\}$?

Нет не хотел. Но я сделал некоторое упущение не увеличивая амплитуду. Поэтому предлагаю замену $f(3^k)=(-3)^{k+1},k \in Z,f(-x)=f(x),f(0)=0$. Тогда коэффициент наклона будет уже $\pm 6$.

Цитата:

А как эта функция определена на $(0, 1)$?

Так же. Находим $k=[log_3(x)]$ Определяем значения $f(3^k),f(3^{k+1}$ и по линейной аппроксимации между ними значение $f(x)$. Вместо 3 можно взять и 2. Любая итерация кусочно линейной непрерывной функции опять кусочно линейная непрерывная функция, степень наклона которой увеличивается по абсолютной величине согласно экспоненциальному закону от номера итерации.

Цитата:

у такой непрерывной функции счётное число циклических точек конечного порядка, следовательно, в любой окрестности любой точки найдётся счётное число их прообразов... это не противоречит возможности существования такой непрерывной функции, но значительно "разрежает" множество возможных претендентов на плотность всюду, оставляя его, однако, равномощным континууму...

Лишь бы они не были всюду плотными в некоторой окрестности.

Цитата:

Руст, Ваш пост указал мне на некоторое моё упущение...

Упущений много. Главное разделение на циклические и ациклические точки ничего не дает. Ациклических точек много видов. А нас интерисует образует итерации всюду плотное множество или нет. Соответственно с этим можно делит на два класса точек. В класс не образующих автоматический попадут и циклические.

[RamsesHawk]

Руст писал(а):

Лишь бы они не были всюду плотными в некоторой окрестности.

А они всюду плотны... Но это не противоречит ($\aleph - \aleph_{0} = \aleph$) существованию "соседнего" всюду плотного множества точек, удовлетворяющих условию задачи...

Руст писал(а):

Упущений много. Главное разделение на циклические и ациклические точки ничего не дает. Ациклических точек много видов. А нас интерисует образует итерации всюду плотное множество или нет. Соответственно с этим можно делит на два класса точек. В класс не образующих автоматический попадут и циклические.

Именно разделение на циклические и ациклические точки привело к выяснению структуры отображения - в этом тоже есть польза... Изучая структуру прообразов мы можем построить большое количество заключений относительно возможно существующих непрерывных функций... Таково моё мнение...
Хотя изначально я считал (и до сих пор считаю, изучая, однако, внимательно именно предложенные Вами функции, Руст ), что такой функции не существует, построенные Вами примеры заставили меня задуматься больше над этой интересной задачей xaxa3217...

P.S.: a Gathering keeps on Being until the certain Measure of its Participants' Tolerance is there...