Является ли голоморфной функция?

[Nxx]

$$\sin(\operatorname{Re} z)$$

[gris]

Для действительных $z$ она совпадает с $\sin z$.

[Brukvalub]

У голоморфной функции производные по всем направлениям одинаковы. Здесь это не так.

[gris]

Хотя если это учебная задача, заданная до понятия об аналитическом продолжении и до изучения свойств голоморфных функций, то надо просто проверить условия Коши-Римана.

[ewert]

Nxx писал(а):

$$\sin(\operatorname{Re} z)$$

Если б она была голоморфной, то виду голоморфности самого синуса было бы голоморфным и просто взятие вещественной части, а это заведомо неверно.

Если же это не просто любопытство, а именно учебная задачка, то -- да, от Вас ожидают (скорее всего) проверки условий Коши-Римана.

[Nxx]

Любопытство. Значит, эта функция не везде дифференцируема?

[ewert]

Является ли хоть где-нибудь дифференцируемой по комплексной переменной $z$ функция $f(z)=\mathop{\mathrm{Re}}z={1\over2}(z+\overline{z})$?

[Nxx]

Вот если возьмем функцию от двух переменных f(x,y)=x, то она дифференцируема и по х, и по у, и полный дифференциал имеет.

[Brukvalub]

Nxx в сообщении #194804 писал(а):

Вот если возьмем функцию от двух переменных f(x,y)=x, то она дифференцируема и по х, и по у, и полный дифференциал имеет.

Это является необходимым, но не достаточным условием голоморфности.

[ewert]

Дифференцируемость по именно $z=x+iy$ -- это не просто гладкость, а нечто гораздо большее.

Для любой гладкой функции $\Delta f=A\,\Delta x+B\,\Delta y+o(|\Delta\vec r|)$. Что равносильно $\Delta f=\alpha\,\Delta z+\beta\,\Delta \overline{z}+o(|\Delta z|)$. Так вот, дифференцируемость именно по $z$ в точности означает, что в последнем равенстве $\beta=0$, не более и не менее. (Лирически это интерпретируется как зависимость функции только от самой $z$, но не от её сопряжения.)

Имеет ли это место для вещественной части?...