2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Является ли голоморфной функция?
Сообщение13.03.2009, 12:50 
$$\sin(\operatorname{Re} z)$$

 
 
 
 
Сообщение13.03.2009, 13:01 
Аватара пользователя
Для действительных $z$ она совпадает с $\sin z$.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2009, 13:20 
Аватара пользователя
У голоморфной функции производные по всем направлениям одинаковы. Здесь это не так.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2009, 13:42 
Аватара пользователя
Хотя если это учебная задача, заданная до понятия об аналитическом продолжении и до изучения свойств голоморфных функций, то надо просто проверить условия Коши-Римана.

 
 
 
 Re: Является ли голоморфной функция?
Сообщение13.03.2009, 13:59 
Nxx писал(а):
$$\sin(\operatorname{Re} z)$$

Если б она была голоморфной, то виду голоморфности самого синуса было бы голоморфным и просто взятие вещественной части, а это заведомо неверно.

Если же это не просто любопытство, а именно учебная задачка, то -- да, от Вас ожидают (скорее всего) проверки условий Коши-Римана.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2009, 17:27 
Любопытство. Значит, эта функция не везде дифференцируема?

 
 
 
 
Сообщение13.03.2009, 17:40 
Является ли хоть где-нибудь дифференцируемой по комплексной переменной $z$ функция $f(z)=\mathop{\mathrm{Re}}z={1\over2}(z+\overline{z})$?

 
 
 
 
Сообщение13.03.2009, 18:22 
Вот если возьмем функцию от двух переменных f(x,y)=x, то она дифференцируема и по х, и по у, и полный дифференциал имеет.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2009, 18:35 
Аватара пользователя
Nxx в сообщении #194804 писал(а):
Вот если возьмем функцию от двух переменных f(x,y)=x, то она дифференцируема и по х, и по у, и полный дифференциал имеет.
Это является необходимым, но не достаточным условием голоморфности.

 
 
 
 
Сообщение13.03.2009, 18:36 
Дифференцируемость по именно $z=x+iy$ -- это не просто гладкость, а нечто гораздо большее.

Для любой гладкой функции $\Delta f=A\,\Delta x+B\,\Delta y+o(|\Delta\vec r|)$. Что равносильно $\Delta f=\alpha\,\Delta z+\beta\,\Delta \overline{z}+o(|\Delta z|)$. Так вот, дифференцируемость именно по $z$ в точности означает, что в последнем равенстве $\beta=0$, не более и не менее. (Лирически это интерпретируется как зависимость функции только от самой $z$, но не от её сопряжения.)

Имеет ли это место для вещественной части?...

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group