Вписанные окужности

[umarus]

В треугольнике ABC, пусть r радиус вписанной окружности и пусть $r_A$ радиус окружности касающей AB, AC и внешне вписанной окружности треугольника ABC. Анологично определены $r_B$ и $r_C$. Докажите, $r_A+r_B+r_C\geqslant r$ и что равенство достигается если и только если треугольник является равносторонним.

[arqady]

umarus писал(а):

В треугольнике ABC, пусть r радиус вписанной окружности и пусть $r_A$ радиус окружности касающей AB, AC и внешне вписанной окружности треугольника ABC. Анологично определены $r_B$ и $r_C$. Докажите, $r_A+r_B+r_C\geqslant r$ и что равенство достигается если и только если треугольник является равносторонним.

После замены

$$2\alpha=\pi-\measuredangle A,$$

$$2\beta=\pi-\measuredangle B$$

и

$$2\gamma=\pi-\measuredangle C,$$

$$x=b+c-a,$$

$$y=a+c-b$$

и

$$z=a+b-c,$$

где

$$a,$$

$$b$$

и

$$c$$

- стороны треугольника с углами

$$\alpha,$$

$$\beta$$

и

$$\gamma$$

, Ваше неравенство эквивалентно вот такому:

$$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\geq(x+y+z)xyz.$$

[umarus]

понятно как доказать

$$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\geq(x+y+z)xyz.$$

но вывести его из первого не смог

Добавлено спустя 5 минут 43 секунды:

arqady
понятно как доказать

$$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\geq(x+y+z)xyz.$$

но вывести его из первого не смог

[arqady]

umarus писал(а):

arqady
понятно как доказать

$$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\geq(x+y+z)xyz.$$

но вывести его из первого не смог

Вы можете выразить

$$r_A,$$

$$r_B$$

и

$$r_C$$

через

$$\measuredangle A,$$

$$\measuredangle B$$

и

$$\measuredangle C$$

соответственно и через

$$r.$$

После сокращения на

$$r$$

у Вас получится следующее неравенство:

$$\sum_{cyc}\frac{1-\sin\frac{\measuredangle A}{2}}{1+\sin\frac{\measuredangle A}{2}}\geq1.$$

Далее сделайте замены, которые я описал в предыдущем посте, и всё получится. Удачи!

[umarus]

Простите меня пожалуйста. Как вывести из этого тригонометрического неравенства последнее с x,y,z

[arqady]

Вот так:

$$\sum_{cyc}\frac{1-\sin\frac{\measuredangle A}{2}}{1+\sin\frac{\measuredangle A}{2}}\geq1\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{1-\cos\alpha}{1+cos\alpha}\geq1\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\geq1\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{(a+b+c)(b+c-a)}\geq1\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{yz}{(x+y+z)x}\geq1\Leftrightarrow x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\geq(x+y+z)xyz.$

[TOTAL]

Фиксируем две стороны треугольника, вписанную окружность, а также касающийся этих двух сторон маленький кружок. Прикасая третью сторону к разным точкам вписанной окружности, для суммы радиусов двух оставшихся маленьких кружков получаем

$$r\left(\frac{1-\sin(\omega + \varepsilon)}{1+\sin(\omega + \varepsilon)} + \frac{1-\sin(\omega - \varepsilon)}{1+\sin(\omega - \varepsilon)}\right) \ge 2r \frac{1-\sin(\omega)}{1+\sin(\omega )} . $$

Это всё и доказывает. (Поставили третью сторону так, что получился равнобедренный треугольник, уменьшив тем самым сумму маленьких радиусов.)

[umarus]

Спасибо. Чисто триг. решение после $\frac {1-cos a} {1+cos a}$ заменяем на $tan^2 \frac{a}{2}$. После $tan^2 \frac{a}{2}+tan^2 \frac{a}{2}+tan^2 \frac{a}{2}\geqslant tan \frac{a}{2}tan \frac{b}{2}+tan \frac{a}{2}tan \frac{c}{2}+tan \frac{b}{2}tan \frac{c}{2}=1$, так как $a+b+c=180$