Несколько задачек на пределы

[kisi-musi]

Помогите наставить на путь истинный
С чего начать решать пределы и если можно ход мысли.Заранее спасибо.

1. \lim_{x\to \pi} {\frac {\ln{cos{2x}}} {(1-\frac {\pi} {x})^2}
2. \lim_{x\to \frac {1} {2}}{\frac {(2x-1)^2} {exp^{sin{\pi{x}}}-exp^{-sin{3\pi{x}}}}

[gris]

Для начала сделайте замену переменной $y=x-\pi$ в первом примере и $y=x-\frac12$ во втором. У Вас будет $y \to 0$ и можно будет воспользоваться эквивалентностями бесконечно малых. Ну или правилом Лопиталя сразу.

[kisi-musi]

спасибо, вроде получилось решить с помощью подстановки. Не могли бы Вы проверить мой ход решения одного из пределов? Заранее спасибо.

\lim_{x\to \pi}{\frac {\ln{cos{2x}}} {(1-\frac {\pi} {x})^2}
делаем подстановку y=x- 1/2 и получаем

\lim_{y\to 0}{\frac {4y^2} {exp^{cos{y\pi}}-exp^{cos{3y\pi}}}}
далее берем производные от числителя и знаменателя и получаем:

\lim_{y\to 0}{\frac {8y} {(-exp^{cos{y\pi}})*\pi*sin{y\pi}-exp^{cos{3y\pi}}*(-sin{3y\pi})*3\pi}}=\lim_{y\to 0}{\frac {8y} {(-exp^{cos{y\pi}})*\pi*y\pi+exp^{cos{3y\pi}}*3y\pi*3\pi}}=\frac {8y} {exp^{1}8y\pi^2}=\frac {1} {exp\pi^2}

[gris]

По-моему, правильно.

[GAA]

Опечатка типа copy/paste — это Вы второй предел вычисляете, а не первый. У меня такой же ответ получился: $\frac{1}{\pi^2 e}$. Вот только для применения правила Лопиталя замену делать — необходимости нет. Такую замену обычно делают для использования эквивалентностей или формулы Маклорена с локальным остаточным членом.

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

Да и примеры, похоже, на эти темы [использование эквивалентностей или формулы Маклорена с локальным остаточным членом].

[kisi-musi]

да немножко уже запарилась (про опечатку). Спасибо за помощь, Вы очень добры. А можно еще Вас попросить помочь еще с 2мя пределами, чего-то не получается?

\lim_{x\to 3}({\frac {9-2x} {3}})^{tg{\frac {x\pi} {6}}}=\lim_{x\right 3}( {3-\frac {2x} {3}})^{tg{\frac {x\pi} {6}}}= \lim_{x\to 3}[( {1+(2-\frac {2x} {3}}))]^{(\frac {1} {2-\frac {2x} {3}})(2-\frac {2x} {3}){tg{\frac {x\pi} {6}}}} =e^\lim_{x\to 3}{(2-\frac {2x} {3}){tg{\frac {x\pi} {6}

а что дальше не знаю...

[gris]

тут я бы тоже сделал замену х=у+3. А дальше первый замечательный предел и эквивалентность для тангенса. Проверьте.

$$\lim_{x\to 3}(\frac {9-2x} {3})^{\tg(\frac {x\pi} {6})}=\lim_{y\to 0}(\frac {3-2y} {3})^{\tg(\frac {y\pi} {6}+\frac {\pi} {2})}=\lim_{y\to 0}(1+\frac {-2y} {3})^{-\ctg(\frac {y\pi} {6})}=\exp(\lim_{y\to 0}(\frac {-2y} {3})\cdot-\ctg(\frac {y\pi} {6})))=\exp(\lim_{y\to 0}(\frac {2y} {3\tg(\frac {y\pi} {6})}))=...$

Хотя у Вас то же самое. Тангенс в знаменатель как котангенс и Лопиталь. Но я всегда стремлюсь упрощать с самого начала

[kisi-musi]

ооо, супер, спасибо Вам большое, очень-очень мне помогли.

сегодня получила еще один предел в нагрузку так сказать, с чего начать решать помогите , уже всю голову переломала.


\lim_{h\to 0, x > 0}{\frac {ln{(x+h)}+ln{(x-h)}+2ln{x}} {h^2}}


Заранее спасибо.

[gris]

Скорее всего у Ваш ошибка в знаке. Надо

$\lim_{h\to 0, x > 0}{\frac {ln{(x+h)}+ln{(x-h)}-2ln{x}} {h^2}}$

тогда всё получится. Объедините все логарифмы в один и воспользуйтесь эквивалентностью $\ln (1+\sigma) \sim \sigma$

[kisi-musi]

Вот так:

\lim_{h\to 0, x > 0}{\frac {ln{(x+h)}+ln{(x-h)}-2ln{x}} {h^2}}=\frac {ln{\frac {x^2-h^2} {x^2}}} {h^2}=\frac {ln{(1+\frac {-h^2} {x^2})}} {h^2}=-\frac {h^2} {h^2x^2}=-\frac {1} {x^2}=0

или можно 0 не писать. И причем тогда в условии x>0 ? Потому что ln>1 должен быть? Да, для этого?

[Brukvalub]

kisi-musi в сообщении #194684 писал(а):

$\lim_{h\to 0, x > 0}{\frac {ln{(x+h)}+ln{(x-h)}-2ln{x}} {h^2}}=\frac {ln{\frac {x^2-h^2} {x^2}}} {h^2}=\frac {ln{(1+\frac {-h^2} {x^2})}} {h^2}=-\frac {h^2} {h^2x^2}=-\frac {1} {x^2}=0$

Вы уверены, что, например, $ - \frac{1}{{1^2 }} = 0$?

[kisi-musi]

имелось ввиду что x стремится к +бесконечности. Да, наверное 0 не стоит писать, а оставить 1|x^2.
спасибо за ваш вопрос.

[gris]

Всё правильно Вы сделали. Это и будет ответом $\lim=-\frac{1}{x^2}$.
$x$ никуда не стремится и остаётся константой от начала и до конца. $x>0$ это просто условие, накладываемое на параметр.

[kisi-musi]

ой спасибочки большое, очень мне помогли.
Всех вам благ!!!

[kisi-musi]

Изменен заголовок. Было: «нужна помощь!» // GAA
_________________________________________________________


Подскажите, плиз, в какую сторону плыть. Пробовала домножить на сопряженное - ничего, производная - опять ничего.

\lim_{x\to 0}{\frac {\sqrt{1+tg{x}}-\sqrt{1+sin{x}}} {x^3}}

GAA:
kisi-musi, 1. Темы слиты. Не надо создавать новую тему для рассмотрения близкого вопроса. 2. Пожалуйста, озаглавливайте темы информативо.