Поиск производной

[Dan_Te]

Ну вот, так гораздо лучше =))
Следующий шаг - это переписать все ваши формулы в $\TeX$, чтобы их можно было нормально прочитать. Это совсем просто делается, ссылка на FAQ - наверху этой страницы.

Теперь, собственно, по теме.
Если бы вместо $e^{-\frac 1 {x^2}}$ у вас было $e^{-x^2}}$, то можно было бы написать
$\frac{d^n} {dx^n}e^{-x^2} =(-1)^n H_n(x){e^{-x^2}}$,
где $H_n(x)$ - так называемые полиномы Эрмита. Для них есть всякие рекуррентные формулы, формулы через суммирование, и т.п.
В вашем случае получится что-нибудь вроде
$\frac{d^n} {dx^n}e^{-1/x^2} =(-1)^n \frac{1}{x^{2n}}G_n(\frac 1 x){e^{-1/x^2}}$
Интересно, есть ли у многочленов $G_n$ какое-нибудь специальное название.

Но это все не суть. Нас интересует только, что энная производная - это некоторая дробно-рациональная функция (то бишь, дробь из многочленов), умноженная на $e^{-1/x^2}$. Зная, что экспонента на бесконечности очень быстро растет, можно легко найти предел этой штуковины в нуле, это и будет нужное вам значение производной.

[Kuzya]

Что же не получается? Все эти производные равны 0 в точке х=0

[Rajmon]

Хочется вернуться к истокам и спросить. Для производной первого порядка выходит надо искать предел(е^(-(x^-2))/x, но выходит неопределенность 0/0. как быть?

[Rajmon]

Полагаю, для 50 процентов форумцев это просто. А менядурака переклинило что-то, вообще не соображу

[sniffer]

А вот для этого есть правило Лопиталя, для которого
не нужно чтоб функция имела производную в проблематичной
точке, а только чтоб была производная рядом с точкой.
А с этим у тебя проблем нету.
Но всё это можно обойти...

\[ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{e^{ - x^{ - n} } }} {x} = t \hfill \\ \ln t = - x^{ - n} - \ln x \hfill \\ \end{gathered} \]

Теперь нужно проверить:

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( - x^{ - n} - \ln x) = \left\{ \begin{gathered} - \infty ,n = 2k \hfill \\ {\text{Doesn't converge for }}n = 2k - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \]

В кратце объясняю:
Для чётных и так всё понятно, несмотря на то что ты заходиш
в комплексные функции когда приближаешся с лева от нуля.
А вот для не-чётных (проверь!), с лева и справа
получаютса разные значение (очень очень разные),
там тожэ будут комплексные функции, но на уровне
интуиции прокатит...

И от всего этого ты получиш (для чётных разумеетса):

\[ \ln t = z\xrightarrow[{x \to 0}]{} - \infty \]

А значит:

\[ t = e^z \xrightarrow[{z \to - \infty }]{}0 \]

А для не-чётных, у функции нет производной в нуле.

Если хочеш быть критично формален, то и второй lim
нужно доказывать Лопиталем, но он куда более
интуитивный чем первый.

[Rajmon]

Спасибо огромное

[Someone]

Rajmon писал(а):

Хочется вернуться к истокам и спросить. Для производной первого порядка выходит надо искать предел(е^(-(x^-2))/x, но выходит неопределенность 0/0. как быть?

Сделаем замену переменной: $x=\frac{1}{t}$; $x\to 0\Leftrightarrow t\to\infty$. Потом применим правило Лопиталя:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{t}{e^{t^2}}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{t'}{(e^{t^2})'}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{1}{2te^{t^2}}=0$$

.

Таким же способом доказываем, что $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2n}}}}{x^m}=0$ для любых натуральных $m$ и $n$.

[sniffer]

@Someone:
Будь аккуратень когда подставляеш

\[ x = \frac{1} {t} \]

Потому что если:

\[ x \to 0^ - \]

, тогда:

\[ t \to - \infty \]

И поэтому у тебя получаютса два lim-a.

[Someone]

sniffer писал(а):

@Someone:
Будь аккуратень когда подставляеш

\[ x = \frac{1} {t} \]

Потому что если:

\[ x \to 0^ - \]

, тогда:

\[ t \to - \infty \]

И поэтому у тебя получаютса два lim-a.

Вообще-то, есть аффинные бесконечности $+\infty$, $-\infty$ и проективная бесконечность $\infty$. Последнюю часто путают с $+\infty$, видимо, по привычке: $+5$ и $5$ означает одно и то же, а $+\infty$ и $\infty$ - нет. А предел у меня один, при $t\to\infty$ (проективной). Правило Лопиталя к нему применимо точно так же, как и к пределам при $t\to\pm\infty$ (аффинным).

Да, на всякий случай: натуральные числа у меня начинаются с $1$.

[Rajmon]

Спасибо всем большое.
Извините, а можно попросить администраторов удалить мою тему(по личным соображениям)