2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Всюду плотное множество
Сообщение09.03.2009, 13:56 
Аватара пользователя


30/09/08
99
москва
Существует ли такая функция $f\in C(\mathbb{R})$, что множество $\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}a_i$, где $a_1=f(0), a_{i+1}=f(a_i)$, всюду плотно в $\mathbb{R}$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2009, 14:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Это не противоречит непрерывности. Все динамические хаосы возникают из итераций простых закономерностей. Возможно $f(x)=(x^2+2)cos x$ уже обладает этим свойством.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2009, 14:46 
Аватара пользователя


30/09/08
99
москва
Мне самому не удалось решить эту задачу от противного, да и в голове потенциальное решение выглядит вроде прозрачно - например при движении аргумента $x$ вправо она должна расти-убывать увеличивая амплитуду, но конкретный пример найти не смог. Тут сложность как раз в том, чтобы при неограниченном близком подходе $a_i$ к нулю вновь порождаемая итеративно последовательность вида $f(..f(a_i)..)$ за конечное число шагов существенно отличалась от предыдущих позиций. Чтобы маленькая ошибка или их совокупность в прошлом испортила будущее)

 Профиль  
                  
 
 Re: Всюду плотное множество
Сообщение10.03.2009, 17:50 


30/01/09
194
xaxa3217 писал(а):
Существует ли такая функция $f\in C(\mathbb{R})$, что множество $\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}a_i$, где $a_1=f(0), a_{i+1}=f(a_i)$, всюду плотно в $\mathbb{R}$?

Пока ясно одно, что если такая функция существует, то $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\{a_i\}\quad x=f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2009, 19:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
ASA писал(а):
Пока ясно одно, что если такая функция существует, то $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\{a_i\}\quad x=f(x)$.

С какой стати?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2009, 22:23 


30/01/09
194
Руст писал(а):
ASA писал(а):
Пока ясно одно, что если такая функция существует, то $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\{a_i\}\quad x=f(x)$.

С какой стати?

Ни с какой. Просто погорячился. :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 02:00 
Аватара пользователя


23/02/09
259
$\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}a_i$ -это вроде как счетное множество а оно лежит не плотно в $\mathbb{R}$ :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 02:12 


24/03/07
321
множество рациональных чисел тоже счетно, но тем не менее плотно в R

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 16:47 


08/03/09
24
1) функция не может быть ограниченной на $\mathbb{R}$. Действительно, если она ограничена, сверху (снизу) то отображение не может осуществиться, за эту границу, и, следовательно, множество будет не всюду плотным в $\mathbb{R}$.
Cледствие. Если функция неограниченна и непрерывна, то $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{|f(x)|} \rightarrow \infty$, а на конечных интервалах она ограничена.
2) $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : y>x, sign(f(x)) = - sign(f(y))$ - предлагаю доказать.

Назовём циклической точкой $k-$го порядка такое $x$, что $x = \underbrace{f(f(\ldots f(}_{k}x\underbrace{)\ldots)}_{k}$, и ни для каких $m<k$ это равенство не выполняется.
3) множество, удовлетворяющее условиям задачи не должно иметь ни одной циклической точки.
4) любая неограниченная непрерывная функция, удовлетворяющая 2) имеет как минимум счётное число циклов.

Добавлено спустя 18 минут 2 секунды:

5) пусть $A = \bigcup\limits_{k=1}^{\infty}{a_{k}}$, тогда $f(A) = A$, $f(\mathbb{R} \setminus A) = \mathbb{R} \setminus A$, причём $\mathbb{R} \setminus A = \bigcup\limits_{n=1}^{N}{B_{n}}, B_{k} = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} x_{k,m}$ - множество циклических точек $k$-го порядка.

Добавлено спустя 9 минут 28 секунд:

Функция $f$ реализует расслоение всего $\mathbb{R}$ на классы множеств, причём, если $f$ существует, каждый из этих классов как минимум конечный/счётный и количество этих классов конечно/счётно.
Если взять в качестве простого примера $f(x) = x$, то можно видеть, что количество циклических точек порядка $k$ будет уже не счётным, а мощности $\aleph$.

Добавлено спустя 28 минут 39 секунд:

я думаю, что такой функции не существует, если бы мы рассматривали замкнутое подмножество $\mathbb{R}$, то она бы существовала, или функция была бы кусочно непрерывна за исключением счётного числа точек.
P.S.: здесь, конечно, легко ошибиться и я могу ошибаться, остаётся надеяться на точное доказательство... :lol:
в качестве примера, можно привести функцию:

$f(x) = \tan(\frac{\pi}{2}(\sin(x + \varphi)\cdot (1-\exp(-(x+ \zeta)^{2}))))$

удовлетворяет ли она этим требованиям? :wink:

Добавлено спустя 2 минуты 55 секунд:

при определённых ограничениях на $\varphi$ и $\zeta$, конечно...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 16:58 


30/01/09
194
RamsesHawk в сообщении #194152 писал(а):
если бы мы рассматривали замкнутое подмножество $\mathbb R$

$\mathbb R$ само замкнуто.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 18:50 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Достаточно взять мою функцию и рассмотреть k ую итерацию $g_k(x)=f(f(f(...(f(x))...))))$. Если из любой окрестности 0 с помощью $g_k$ можно попасть точкам больше $b_k$ и меньше $-b_k$, то в любой окрестности найдётся $a_0$, что $a_{k+1}=f(a_k)$ даст всюду плотное множество. Имеются точки, составляющие меру 0, для которых это не выполняется, например из-за зацикливания. Соответственно, если точка 0 такая точка, то сдвинув функцию $f(x-x_0)$ получим требуюмую.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 19:05 


08/03/09
24
я понимаю, но непрерывность "работает" только на ограниченных подмножествах $\mathbb{R}$ их я и имел ввиду... если мы будем говорить о непрерывных функциях, удовлетворяющих условиям этой задачи, мы будем иметь особую точку $\infty$, как и в случае, предложенном xaxa3217, где непрерывность может "нарушена" в определённом смысле... я думаю, что именно требование непрерывности функции противоречит решению задачи... если бы в задаче функция отображала любой достаточно большой интервал на всё $\mathbb{R}$, тогда она бы существовала... а так нам необходимо гарантировать "возврат" в любую окрестность любой указанной точки счётное число раз да ещё и выход из любой наперёд указанной окрестности любой точки счётное число раз... другими словами необходимо найти непрерывную функцию, которая при определённом начальном значении не имеет циклических точек любого порядка...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 19:10 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
непрерывность и даже аналитичность ни чему не мешает. Вы забываете, что от этой функции берётся всё большие итерации.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 19:15 


08/03/09
24
хотя, я могу ошибаться... о чём и думаю сейчас, смотря на пост Руста

Добавлено спустя 2 минуты 57 секунд:

да, вполне возможно, Руст, Вы правы... вот, хочу найти доказательство... но, что-то туговато...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.03.2009, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Тут бы ещё доказать, что хотя бы $\forall k \in \mathbb N\,\exists n>k: |g_n(0)| \leqslant 1$... А то что-то уж больно бодро эта последовательность (по модулю) в бесконечность прёт :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group