функция из $C[0,1]\setminus H^1(0,1)$

[ASA]

ewert в сообщении #193431 писал(а):

что -- и всё? Непосредственно из этого ничего насчёт компактности не следует.

Что-то мы друг друга не понимаем, что ли? Я говорю только о доказательстве nckg, в котором ниоткуда не следует, что $\|x_n\|=\sqrt n$, а значит док-во неверное.

[ewert]

ASA в сообщении #193435 писал(а):

Я говорю только о доказательстве nckg, в котором ниоткуда не следует, что $\|x_n\|=\sqrt n$,

А кто может запретить ему выбрать именно такую нормировку последовательности?

[ASA]

ewert в сообщении #193439 писал(а):

А кто может запретить ему выбрать именно такую нормировку последовательности?

Итак $\forall n \exists x_n: \|x_n\|>n\|x_n\|'$. О какой нормировке Вы говорите? Ну умножите Вы $x_n$ на $\sqrt n/\|x_n\|$. Тогда обе части неравенства $\|x_n\|>n\|x_n\|'$ нужно умножить на этот множитель. И что изменилось?

[ewert]

$$\|x_n\|>n\|x_n\|'; \qquad {\sqrt n\over\|x_n\|}\cdot\|x_n\|>n\cdot{\sqrt n\over\|x_n\|}\cdot\|x_n\|';$$ $$y_n\equiv{\sqrt n\over\|x_n\|}\cdot x_n \quad \Longrightarrow \quad \|y_n\|>n\|y_n\|',\quad\|y_n\|=\sqrt n.$$

[nckg]

ASA в сообщении #193435 писал(а):

Я говорю только о доказательстве nckg, в котором ниоткуда не следует, что $\|x_n\|=\sqrt n$, а значит док-во неверное.

Да, это ниоткуда не следует, но мы можем, как сказал ewert, сами выбрать эту нормировку:

ASA в сообщении #193424 писал(а):

Отрицая $\|\cdot\|\preccurlyeq\|\cdot\|'$, имеем $\forall n\exists x_n$ такое, что $\|x_n\|>n\|x_n\|'$. И всё. Выдумывать не надо.

Теперь берём $y_n=\frac{x_n}{\|x_n\|}\sqrt n$. Ясно, что $\|y_n\|=\sqrt n$. С учётом однородности нормы для $y_n$ будет справедливо неравенство $\|y_n\|>n\|y_n\|'$.

ASA в сообщении #193424 писал(а):

Что-то не то. $\int_{-\infty}^\infty (\varphi_n(x)-\theta(x-1)x^{-2/3})^2 dx=\int_1^n x^{-4/3}dx$ к $0$ не сходится.

да, немного криво записал -- там должно быть $\theta(n-x)$ вместо $\theta(x-n)$.

P.S. ewert меня немного опередил

[ASA]

Убедили.

[ewert]

nckg:

только говорить следует всё же не о компактности, а о предкомпактности. Из замкнутости по сильной норме не следует замкнутость по слабой (следует наоборот).

[nckg]

ewert писал(а):

только говорить следует всё же не о компактности, а о предкомпактности. Из замкнутости по сильной норме не следует замкнутость по слабой (следует наоборот).

А вот это я не совсем понял... Ведь по условию

ASA в сообщении #190677 писал(а):

(9') $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|\,\bigr)$

Вы предлагаете модифицировать условие?

[ewert]

nckg в сообщении #193469 писал(а):

Вы предлагаете модифицировать условие?

Да, предлагаю. По указанной причине (я уж и забыл, с чего всё началось).

[AGu]

AGu писал(а):

Спрашивается, равносильно ли соотношение $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ следующему утверждению:
(9') $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|\,\bigr)$

nckg писал(а):

По-моему это верно. Если не ошибаюсь, (в оставшуюся сторону) можно показать от противного тем же методом, что использовал ewert в сообщении #190015

Ой, правда. Зря я тогда "промолчал". (Я просто не на то сообщение посмотрел.)

ewert, nckg, вы круты.

ewert писал(а):

только говорить следует всё же не о компактности, а о предкомпактности

Зачем? Чтобы построенное вами $A$ стало компактным по $\|{\cdot}\|'$, достаточно добавить к нему нолик.

[ewert]

AGu писал(а):

ewert писал(а):

только говорить следует всё же не о компактности, а о предкомпактности

Зачем? Чтобы построенное вами $A$ стало компактным по $\|{\cdot}\|'$, достаточно добавить к нему нолик.

В эту сторону утверждение верно и для компактности, и для предкомпактности. А вот в обратную -- только для предкомпактности.

[AGu]

ewert писал(а):

В эту сторону утверждение верно и для компактности, и для предкомпактности. А вот в обратную -- только для предкомпактности.

Хмм... А как же это:

ASA писал(а):

Пусть $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ и $A$ компактно по $\|{\cdot}\|'$. Тогда из любой последовательности элементов из $A$ можно извлечь сходящуюся по $\|{\cdot}\|'$ подпоследовательность, которая сходится и по $\|{\cdot}\|$. Значит $A$ компактно по $\|{\cdot}\|$.

Я не вижу ошибки в рассуждениях ASA.

[ewert]

Эти рассуждения доказывают лишь предкомпактность по слабой норме.

[AGu]

ewert писал(а):

Эти рассуждения доказывают лишь предкомпактность по слабой норме.

Чегой-то я не понимаю...

Итак, пусть $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ и пусть $A$ компактно по $\|{\cdot}\|'$.
С целью доказать компактность $A$ по $\|{\cdot}\|$
рассмотрим произвольную последовательность $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ элементов $A$
и покажем существование подпоследовательности $(a_{n_k})_{k\in\mathbb N}$
и элемента $a\in A$ таких, что $\|a_{n_k}-a\|\to0$.
Поскольку $A$ компактно по $\|{\cdot}\|'$, существуют подпоследовательность $(a_{n_k})_{k\in\mathbb N}$
и элемент $a\in A$ такие, что $\|a_{n_k}-a\|'\to0$.
Используя соотношение $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$, заключаем, что $\|a_{n_k}-a\|\to0$.

И где тут ошибка?

[ewert]

Да, в таком варианте это верно. Просто я реагировал на предыдущий текст формально, а вдумываться в существо дела было лень.